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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 12 Division -- Beziehung zum Gleichartigen.

§ 12. Die in den vorigen Paragraphen dargestellten Gesetze
drücken die allgemeine Beziehung der Multiplikation und Division
zur Addition und Subtraktion aus. Hingegen die Gesetze der Mul-
tiplikation an sich, wie sie die Arithmetik aufstellt, und welche die
Vertauschbarkeit und Vereinbarkeit der Faktoren aussagen, gehen
nicht aus dieser allgemeinen Beziehung hervor, und sind daher
auch nicht durch den allgemeinen Begriff der Multiplikation be-
stimmt. Vielmehr werden wir in unserer Wissenschaft Arten der
Multiplikation kennen lernen, bei denen wenigstens die Vertausch-
barkeit der Faktoren nicht statt findet, bei denen aber dennoch
alle bisher aufgestellten Sätze ihre volle Anwendung haben. Auch
den allgemeinen Begriff dieser Multiplikation haben wir somit for-
mell bestimmt; diesem formellen Begriffe muss, wenn die Natur der
zu verknüpfenden Grössen gegeben ist, ein realer Begriff ent-
sprechen, welcher die Erzeugungsweise des Produktes vermittelst
der Faktoren aussagt. Die Beziehung zur realen Addition liefert
uns eine allgemeine Bestimmung dieser Erzeugungsweise; wird
nämlich einer der Faktoren als Summe seiner Theile (nach § 8)
aufgefasst, so muss man nach dem allgemeinen Beziehungsgesetz,
statt die Summe der Produkt-bildenden Erzeugungsweise zu unter-
werfen, die Theile derselben unterwerfen können, und die so ge-
bildeten Produkte addiren, d. h. da diese Produkte wieder als in
gleichem Sinne erzeugt sich darstellen, sie als Theile zu einem
Ganzen verknüpfen können; d. h. die multiplikative Erzeugungs-
weise muss von der Art sein, dass die Theile der Faktoren auf
gleiche Weise in sie eingehen, so nämlich, dass wenn ein Theil
des einen mit einem Theil des andern multiplikativ verknüpft irgend
eine Grösse erzeugt, dann bei der multiplikativen Verknüpfung der
Ganzen, auch jeder Theil des ersten mit jedem Theil des andern
eine solche Grösse und zwar dieselbe Grösse erzeugt, wenn diese
Theile den zuerst angenommenen gleich sind. Und es leuchtet
sogleich ein, dass wenn die Erzeugungsweise die angegebene Be-
schaffenheit hat, auch die ihr entsprechende Verknüpfungsweise
zur Addition des Gleichartigen die multiplikative Beziehung hat,
und für sie somit alle Gesetze dieser Beziehung gelten. Wir
nennen daher eine solche Verknüpfungsweise auch schon dann,
wenn nur erst ihre multiplikative Beziehung zur Addition des Gleich-

§ 12 Division — Beziehung zum Gleichartigen.

§ 12. Die in den vorigen Paragraphen dargestellten Gesetze
drücken die allgemeine Beziehung der Multiplikation und Division
zur Addition und Subtraktion aus. Hingegen die Gesetze der Mul-
tiplikation an sich, wie sie die Arithmetik aufstellt, und welche die
Vertauschbarkeit und Vereinbarkeit der Faktoren aussagen, gehen
nicht aus dieser allgemeinen Beziehung hervor, und sind daher
auch nicht durch den allgemeinen Begriff der Multiplikation be-
stimmt. Vielmehr werden wir in unserer Wissenschaft Arten der
Multiplikation kennen lernen, bei denen wenigstens die Vertausch-
barkeit der Faktoren nicht statt findet, bei denen aber dennoch
alle bisher aufgestellten Sätze ihre volle Anwendung haben. Auch
den allgemeinen Begriff dieser Multiplikation haben wir somit for-
mell bestimmt; diesem formellen Begriffe muss, wenn die Natur der
zu verknüpfenden Grössen gegeben ist, ein realer Begriff ent-
sprechen, welcher die Erzeugungsweise des Produktes vermittelst
der Faktoren aussagt. Die Beziehung zur realen Addition liefert
uns eine allgemeine Bestimmung dieser Erzeugungsweise; wird
nämlich einer der Faktoren als Summe seiner Theile (nach § 8)
aufgefasst, so muss man nach dem allgemeinen Beziehungsgesetz,
statt die Summe der Produkt-bildenden Erzeugungsweise zu unter-
werfen, die Theile derselben unterwerfen können, und die so ge-
bildeten Produkte addiren, d. h. da diese Produkte wieder als in
gleichem Sinne erzeugt sich darstellen, sie als Theile zu einem
Ganzen verknüpfen können; d. h. die multiplikative Erzeugungs-
weise muss von der Art sein, dass die Theile der Faktoren auf
gleiche Weise in sie eingehen, so nämlich, dass wenn ein Theil
des einen mit einem Theil des andern multiplikativ verknüpft irgend
eine Grösse erzeugt, dann bei der multiplikativen Verknüpfung der
Ganzen, auch jeder Theil des ersten mit jedem Theil des andern
eine solche Grösse und zwar dieselbe Grösse erzeugt, wenn diese
Theile den zuerst angenommenen gleich sind. Und es leuchtet
sogleich ein, dass wenn die Erzeugungsweise die angegebene Be-
schaffenheit hat, auch die ihr entsprechende Verknüpfungsweise
zur Addition des Gleichartigen die multiplikative Beziehung hat,
und für sie somit alle Gesetze dieser Beziehung gelten. Wir
nennen daher eine solche Verknüpfungsweise auch schon dann,
wenn nur erst ihre multiplikative Beziehung zur Addition des Gleich-

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[13/0049] § 12 Division — Beziehung zum Gleichartigen. § 12. Die in den vorigen Paragraphen dargestellten Gesetze drücken die allgemeine Beziehung der Multiplikation und Division zur Addition und Subtraktion aus. Hingegen die Gesetze der Mul- tiplikation an sich, wie sie die Arithmetik aufstellt, und welche die Vertauschbarkeit und Vereinbarkeit der Faktoren aussagen, gehen nicht aus dieser allgemeinen Beziehung hervor, und sind daher auch nicht durch den allgemeinen Begriff der Multiplikation be- stimmt. Vielmehr werden wir in unserer Wissenschaft Arten der Multiplikation kennen lernen, bei denen wenigstens die Vertausch- barkeit der Faktoren nicht statt findet, bei denen aber dennoch alle bisher aufgestellten Sätze ihre volle Anwendung haben. Auch den allgemeinen Begriff dieser Multiplikation haben wir somit for- mell bestimmt; diesem formellen Begriffe muss, wenn die Natur der zu verknüpfenden Grössen gegeben ist, ein realer Begriff ent- sprechen, welcher die Erzeugungsweise des Produktes vermittelst der Faktoren aussagt. Die Beziehung zur realen Addition liefert uns eine allgemeine Bestimmung dieser Erzeugungsweise; wird nämlich einer der Faktoren als Summe seiner Theile (nach § 8) aufgefasst, so muss man nach dem allgemeinen Beziehungsgesetz, statt die Summe der Produkt-bildenden Erzeugungsweise zu unter- werfen, die Theile derselben unterwerfen können, und die so ge- bildeten Produkte addiren, d. h. da diese Produkte wieder als in gleichem Sinne erzeugt sich darstellen, sie als Theile zu einem Ganzen verknüpfen können; d. h. die multiplikative Erzeugungs- weise muss von der Art sein, dass die Theile der Faktoren auf gleiche Weise in sie eingehen, so nämlich, dass wenn ein Theil des einen mit einem Theil des andern multiplikativ verknüpft irgend eine Grösse erzeugt, dann bei der multiplikativen Verknüpfung der Ganzen, auch jeder Theil des ersten mit jedem Theil des andern eine solche Grösse und zwar dieselbe Grösse erzeugt, wenn diese Theile den zuerst angenommenen gleich sind. Und es leuchtet sogleich ein, dass wenn die Erzeugungsweise die angegebene Be- schaffenheit hat, auch die ihr entsprechende Verknüpfungsweise zur Addition des Gleichartigen die multiplikative Beziehung hat, und für sie somit alle Gesetze dieser Beziehung gelten. Wir nennen daher eine solche Verknüpfungsweise auch schon dann, wenn nur erst ihre multiplikative Beziehung zur Addition des Gleich-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 13. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/49>, abgerufen am 24.11.2024.