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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 5 Einfache Verknüpfung -- Analyse.
Verknüpfung, wenn man nicht auf die Natur der verknüpften For-
men zurückgeht, nicht mehr möglich, und wir schreiten daher zur
Auflösung der gewonnenen Verknüpfung, oder zum analytischen
Verfahren.

§. 5. Das analytische Verfahren besteht darin, dass man zu
dem Ergebniss der Verknüpfung und dem einen Gliede derselben
das andere sucht. Es gehören daher zu einer Verknüpfung zwei
analytische Verfahrungsarten, je nachdem nämlich deren Vorder-
glied oder Hinterglied gesucht wird; und beide Verfahrungsarten
liefern nur dann ein gleiches Ergebniss, wenn die beiden Glieder
der ursprünglichen Verknüpfung vertauschbar sind. Da auch dies
analytische Verfahren als Verknüpfung kann aufgefasst werden, so
unterscheiden wir die ursprüngliche oder synthetische Verknüpfung
und die auflösende oder analytische Verknüpfung. Im Folgenden
werden wir nun zunächst die synthetische Verknüpfung in dem
Sinne des vorigen Paragraphen als eine einfache voraussetzen und
als Zeichen derselben das Zeichen * beibehalten, für die ent-
sprechende analytische Verknüpfung, da hier die beiden Arten der-
selben zusammenfallen, hingegen das umgekehrte Zeichen * wählen,
und zwar so, dass wir das Ergebniss der synthetischen Verknüpfung,
was bei der analytischen gegeben ist, hier zum Vordergliede
machen. Sonach bezeichnet hier a * b diejenige Form, welche mit
b synthetisch verknüpft a giebt, so dass also alle mal a * b * b = a
ist. Hierin liegt sogleich eingeschlossen, dass a * b * c diejenige
Form bedeutet, welche mit c und dann mit b synthetisch verknüpft
a giebt, d. h. also auch nach § 4 diejenige Form, welche mit den-
selben Werthen in umgekehrter Folge, oder auch mit b * c synthe-
tisch verknüpft a giebt, d. h.
[Formel 1] ;
und da dieselbe Schlussfolge für beliebig viele Glieder gilt, so
folgt, dass auch die Ordnung der Glieder, welche analytische Vor-
zeichen haben, gleichgültig ist, und man diese Glieder in eine
Klammer schliessen darf, wenn man nur die in die Klammer
rückenden Vorzeichen umkehrt. Hieraus nun folgt weiter, dass
[Formel 2]

§ 5 Einfache Verknüpfung — Analyse.
Verknüpfung, wenn man nicht auf die Natur der verknüpften For-
men zurückgeht, nicht mehr möglich, und wir schreiten daher zur
Auflösung der gewonnenen Verknüpfung, oder zum analytischen
Verfahren.

§. 5. Das analytische Verfahren besteht darin, dass man zu
dem Ergebniss der Verknüpfung und dem einen Gliede derselben
das andere sucht. Es gehören daher zu einer Verknüpfung zwei
analytische Verfahrungsarten, je nachdem nämlich deren Vorder-
glied oder Hinterglied gesucht wird; und beide Verfahrungsarten
liefern nur dann ein gleiches Ergebniss, wenn die beiden Glieder
der ursprünglichen Verknüpfung vertauschbar sind. Da auch dies
analytische Verfahren als Verknüpfung kann aufgefasst werden, so
unterscheiden wir die ursprüngliche oder synthetische Verknüpfung
und die auflösende oder analytische Verknüpfung. Im Folgenden
werden wir nun zunächst die synthetische Verknüpfung in dem
Sinne des vorigen Paragraphen als eine einfache voraussetzen und
als Zeichen derselben das Zeichen ◠ beibehalten, für die ent-
sprechende analytische Verknüpfung, da hier die beiden Arten der-
selben zusammenfallen, hingegen das umgekehrte Zeichen ◡ wählen,
und zwar so, dass wir das Ergebniss der synthetischen Verknüpfung,
was bei der analytischen gegeben ist, hier zum Vordergliede
machen. Sonach bezeichnet hier a ◡ b diejenige Form, welche mit
b synthetisch verknüpft a giebt, so dass also alle mal a ◡ b ◠ b = a
ist. Hierin liegt sogleich eingeschlossen, dass a ◡ b ◡ c diejenige
Form bedeutet, welche mit c und dann mit b synthetisch verknüpft
a giebt, d. h. also auch nach § 4 diejenige Form, welche mit den-
selben Werthen in umgekehrter Folge, oder auch mit b ◠ c synthe-
tisch verknüpft a giebt, d. h.
[Formel 1] ;
und da dieselbe Schlussfolge für beliebig viele Glieder gilt, so
folgt, dass auch die Ordnung der Glieder, welche analytische Vor-
zeichen haben, gleichgültig ist, und man diese Glieder in eine
Klammer schliessen darf, wenn man nur die in die Klammer
rückenden Vorzeichen umkehrt. Hieraus nun folgt weiter, dass
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[5/0041] § 5 Einfache Verknüpfung — Analyse. Verknüpfung, wenn man nicht auf die Natur der verknüpften For- men zurückgeht, nicht mehr möglich, und wir schreiten daher zur Auflösung der gewonnenen Verknüpfung, oder zum analytischen Verfahren. §. 5. Das analytische Verfahren besteht darin, dass man zu dem Ergebniss der Verknüpfung und dem einen Gliede derselben das andere sucht. Es gehören daher zu einer Verknüpfung zwei analytische Verfahrungsarten, je nachdem nämlich deren Vorder- glied oder Hinterglied gesucht wird; und beide Verfahrungsarten liefern nur dann ein gleiches Ergebniss, wenn die beiden Glieder der ursprünglichen Verknüpfung vertauschbar sind. Da auch dies analytische Verfahren als Verknüpfung kann aufgefasst werden, so unterscheiden wir die ursprüngliche oder synthetische Verknüpfung und die auflösende oder analytische Verknüpfung. Im Folgenden werden wir nun zunächst die synthetische Verknüpfung in dem Sinne des vorigen Paragraphen als eine einfache voraussetzen und als Zeichen derselben das Zeichen ◠ beibehalten, für die ent- sprechende analytische Verknüpfung, da hier die beiden Arten der- selben zusammenfallen, hingegen das umgekehrte Zeichen ◡ wählen, und zwar so, dass wir das Ergebniss der synthetischen Verknüpfung, was bei der analytischen gegeben ist, hier zum Vordergliede machen. Sonach bezeichnet hier a ◡ b diejenige Form, welche mit b synthetisch verknüpft a giebt, so dass also alle mal a ◡ b ◠ b = a ist. Hierin liegt sogleich eingeschlossen, dass a ◡ b ◡ c diejenige Form bedeutet, welche mit c und dann mit b synthetisch verknüpft a giebt, d. h. also auch nach § 4 diejenige Form, welche mit den- selben Werthen in umgekehrter Folge, oder auch mit b ◠ c synthe- tisch verknüpft a giebt, d. h. [FORMEL]; und da dieselbe Schlussfolge für beliebig viele Glieder gilt, so folgt, dass auch die Ordnung der Glieder, welche analytische Vor- zeichen haben, gleichgültig ist, und man diese Glieder in eine Klammer schliessen darf, wenn man nur die in die Klammer rückenden Vorzeichen umkehrt. Hieraus nun folgt weiter, dass [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 5. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/41>, abgerufen am 24.11.2024.