Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

§ 170 Allgemeiner Satz über harmonische Mitten.

man durch einen festen Punkt eine veränderliche Gerade zieht,
welche eine Reihe von n festen Geraden derselben Ebene schnei-
det und man bestimmt in Bezug auf jenen Punkt als Pol die har-
monische Mitte zwischen den mit konstanten harmonischen Koef-
ficienten behafteten Durchschnittspunkten, so liegt dieselbe in einer
festen Geraden, und zwar ist diese Gerade die harmonische Mitte
jener n Geraden in Bezug auf denselben Pol und dieselben harmo-
nischen Koefficienten. Hat man auf der andern Seite in Bezug auf
eine Axe die harmonische Mitte zwischen einer Reihe von n Punk-
ten derselben Ebene, und man legt durch irgend einen Punkt der
Axe und jene n Punkte gerade Linien, so findet zwischen ihnen
nach dem angeführten Satze in Bezug auf die Axe dieselbe harmo-
nische Gleichung statt, wie zwischen jenen n Punkten. Oder ver-
bindet man einen in einer festen Geraden liegenden veränderlichen
Punkt mit n festen Punkten derselben Ebene, so geht die harmo-
nische Mitte dieser Verbindungslinien in Bezug auf jene Gerade
als Axe und in Bezug auf eine Reihe konstanter Koefficienten,
welche jenen Punkten zugehören, durch einen festen Punkt, und
zwar ist dieser Punkt die harmonische Mitte der gegebenen n Punkte
in Bezug auf dieselbe Axe. — Wollen wir die zweite Ausdrucks-
form in ihrer ganzen Allgemeinheit darstellen, so gelangen wir zu
folgender neuen Form des oben aufgestellten Satzes:

„Kombinirt man ein veränderliches System R, welches einem
festen Systeme P als Polsysteme eingeordnet ist, mit n festen
Systemen A, B, ..., deren jedes mit dem Polsysteme kom-
binirt das Hauptsystem liefert: so ist die harmonische Mitte
jener n Kombinationen in Bezug auf n zugehörige feste Koef-
ficienten α, β, ...., deren Summe nicht null ist, und auf
jenes Polsystem P einem festen Systeme Q eingeordnet, und
zwar ist dies feste System Q die harmonische Mitte der n fe-
sten Systeme A, B, ... in Bezug auf dieselben Koefficienten
α, β, ... und auf dasselbe Polsystem P.“

Diese Ausdrucksform ergiebt sich aus der ersteren (im vorigen Pa-
ragraphen aufgestellten) mit vollkommener Schärfe, wenn man von
dem Satze Gebrauch macht, dass wenn das Polsystem, die harmo-
nischen Systeme, deren jedes mit dem Polsysteme kombinirt das
Hauptsystem liefert, und die zugehörigen harmonischen Koefficien-