Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.Verwandtschaftsbeziehungen. § 165 tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerthdarstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD die entsprechenden Grössen A'B'C'D' eines kollinear verwandten Ge- bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der Form [Formel 1] darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg- lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei- chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A', B', C', D' setzt, und man hat somit [Formel 2] Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie sind, und a', b', c', d' die entsprechenden, [Formel 3] Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der- selben geraden Linie liegen [Formel 4] Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A, C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist [Formel 5] Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist [Formel 6] Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist [Formel 7] Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo- tient eine Zahl darstellen soll. Verwandtschaftsbeziehungen. § 165 tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerthdarstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD die entsprechenden Grössen A′B′C′D′ eines kollinear verwandten Ge- bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der Form [Formel 1] darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg- lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei- chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A′, B′, C′, D′ setzt, und man hat somit [Formel 2] Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie sind, und a′, b′, c′, d′ die entsprechenden, [Formel 3] Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der- selben geraden Linie liegen [Formel 4] Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A, C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist [Formel 5] Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist [Formel 6] Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist [Formel 7] Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo- tient eine Zahl darstellen soll. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0288" n="252"/><fw place="top" type="header">Verwandtschaftsbeziehungen. § 165</fw><lb/> tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerth<lb/> darstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD<lb/> die entsprechenden Grössen A′B′C′D′ eines kollinear verwandten Ge-<lb/> bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der<lb/> Form<lb/><formula/> darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen<lb/> A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg-<lb/> lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei-<lb/> chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D<lb/> die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A′, B′, C′, D′ setzt, und<lb/> man hat somit<lb/><formula/> Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie<lb/> sind, und a′, b′, c′, d′ die entsprechenden,<lb/><formula/> Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche<lb/> mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der-<lb/> selben geraden Linie liegen<lb/><formula/> Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A,<lb/> C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist<lb/><formula/> Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist<lb/><formula/> Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist<lb/><formula/> Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem<lb/> allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo-<lb/> tient eine Zahl darstellen soll.</p><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [252/0288]
Verwandtschaftsbeziehungen. § 165
tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerth
darstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD
die entsprechenden Grössen A′B′C′D′ eines kollinear verwandten Ge-
bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der
Form
[FORMEL] darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen
A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg-
lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei-
chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D
die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A′, B′, C′, D′ setzt, und
man hat somit
[FORMEL] Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie
sind, und a′, b′, c′, d′ die entsprechenden,
[FORMEL] Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche
mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der-
selben geraden Linie liegen
[FORMEL] Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A,
C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist
[FORMEL] Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist
[FORMEL] Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist
[FORMEL] Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem
allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo-
tient eine Zahl darstellen soll.
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 252. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/288>, abgerufen am 15.08.2024. |