Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.§ 158 Zusammenhang zw. Abschattung u. Affinität. untergeordnet. Es sind aber diese Grössen sowohl von einanderals von dem Systeme des Vereins A unabhängig. Denn fände eine solche Abhängigkeit statt, so würde auch eine Vielfachensumme von a1 ... am und den andern Grössen erster Stufe, die dem Vereine A an- gehören, als gleich erscheinen einer Vielfachensumme der Grössen b1 ... bm, d. h. es würde in dem Systeme b1 . b2 .... bm eine Grösse geben, welche den Systemen beider Vereine gemeinschaftlich wäre, d. h. dem Systeme C angehörte, was wider die Voraussetzung ist, indem jenes Produkt von C unabhängig angenommen ist. Da nun die Grössen (a1 -- b1) ... (am -- bm) von einander unabhängig und dem Systeme L untergeordnet sind, so ist auch ihr äusseres Pro- dukt diesem Systeme untergeordnet; und wenn wir annehmen, dass das Leitsystem nicht von höherer als m-ter Stufe ist, so folgt, dass es durch jenes Produkt dargestellt, also vollkommen bestimmt ist, oder mit andern Worten, es ist dann der Sinn der Abschattung be- stimmt. Setzen wir daher L jenem Produkte gleich, so folgt auch umgekehrt die Gültigkeit der Gleichungen [Formel 1] und da L von dem Systeme von A unabhängig ist, so folgt, dass a1 ... am in der That die Abschattung von b1 ... bm auf das System von A nach dem Leitsysteme L sind. Nimmt man nun in dem Systeme von B irgend eine andere Grösse erster Stufe b an, so wird sich die- selbe als Vielfachensumme von den Grössen b1 ... bm und von Grös- sen, die dem Systeme C angehören, darstellen lassen. Dann wird die entsprechende Grösse a des ersten Vereins sich als entspre- chende Vielfachensumme von den entsprechenden Grössen ihres Ver- eins darstellen lassen, d. h. als entsprechende Vielfachensumme von den Abschattungen jener Grössen erscheinen, oder sie selbst ist die Ab- schattung jener ersteren. Wir haben somit den Satz gewonnen: "Wenn zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins (A) § 158 Zusammenhang zw. Abschattung u. Affinität. untergeordnet. Es sind aber diese Grössen sowohl von einanderals von dem Systeme des Vereins A unabhängig. Denn fände eine solche Abhängigkeit statt, so würde auch eine Vielfachensumme von a1 ... am und den andern Grössen erster Stufe, die dem Vereine A an- gehören, als gleich erscheinen einer Vielfachensumme der Grössen b1 ... bm, d. h. es würde in dem Systeme b1 . b2 .... bm eine Grösse geben, welche den Systemen beider Vereine gemeinschaftlich wäre, d. h. dem Systeme C angehörte, was wider die Voraussetzung ist, indem jenes Produkt von C unabhängig angenommen ist. Da nun die Grössen (a1 — b1) ... (am — bm) von einander unabhängig und dem Systeme L untergeordnet sind, so ist auch ihr äusseres Pro- dukt diesem Systeme untergeordnet; und wenn wir annehmen, dass das Leitsystem nicht von höherer als m-ter Stufe ist, so folgt, dass es durch jenes Produkt dargestellt, also vollkommen bestimmt ist, oder mit andern Worten, es ist dann der Sinn der Abschattung be- stimmt. Setzen wir daher L jenem Produkte gleich, so folgt auch umgekehrt die Gültigkeit der Gleichungen [Formel 1] und da L von dem Systeme von A unabhängig ist, so folgt, dass a1 ... am in der That die Abschattung von b1 ... bm auf das System von A nach dem Leitsysteme L sind. Nimmt man nun in dem Systeme von B irgend eine andere Grösse erster Stufe b an, so wird sich die- selbe als Vielfachensumme von den Grössen b1 ... bm und von Grös- sen, die dem Systeme C angehören, darstellen lassen. Dann wird die entsprechende Grösse a des ersten Vereins sich als entspre- chende Vielfachensumme von den entsprechenden Grössen ihres Ver- eins darstellen lassen, d. h. als entsprechende Vielfachensumme von den Abschattungen jener Grössen erscheinen, oder sie selbst ist die Ab- schattung jener ersteren. 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§ 158 Zusammenhang zw. Abschattung u. Affinität.
untergeordnet. Es sind aber diese Grössen sowohl von einander
als von dem Systeme des Vereins A unabhängig. Denn fände eine
solche Abhängigkeit statt, so würde auch eine Vielfachensumme von
a1 ... am und den andern Grössen erster Stufe, die dem Vereine A an-
gehören, als gleich erscheinen einer Vielfachensumme der Grössen
b1 ... bm, d. h. es würde in dem Systeme b1 . b2 .... bm eine Grösse
geben, welche den Systemen beider Vereine gemeinschaftlich wäre,
d. h. dem Systeme C angehörte, was wider die Voraussetzung ist,
indem jenes Produkt von C unabhängig angenommen ist. Da nun
die Grössen (a1 — b1) ... (am — bm) von einander unabhängig und
dem Systeme L untergeordnet sind, so ist auch ihr äusseres Pro-
dukt diesem Systeme untergeordnet; und wenn wir annehmen, dass
das Leitsystem nicht von höherer als m-ter Stufe ist, so folgt, dass
es durch jenes Produkt dargestellt, also vollkommen bestimmt ist,
oder mit andern Worten, es ist dann der Sinn der Abschattung be-
stimmt. Setzen wir daher L jenem Produkte gleich, so folgt auch
umgekehrt die Gültigkeit der Gleichungen
[FORMEL] und da L von dem Systeme von A unabhängig ist, so folgt, dass
a1 ... am in der That die Abschattung von b1 ... bm auf das System
von A nach dem Leitsysteme L sind. Nimmt man nun in dem Systeme
von B irgend eine andere Grösse erster Stufe b an, so wird sich die-
selbe als Vielfachensumme von den Grössen b1 ... bm und von Grös-
sen, die dem Systeme C angehören, darstellen lassen. Dann wird
die entsprechende Grösse a des ersten Vereins sich als entspre-
chende Vielfachensumme von den entsprechenden Grössen ihres Ver-
eins darstellen lassen, d. h. als entsprechende Vielfachensumme von
den Abschattungen jener Grössen erscheinen, oder sie selbst ist die Ab-
schattung jener ersteren. Wir haben somit den Satz gewonnen:
„Wenn zwischen den Grössen erster Stufe eines Vereins (A)
dieselben Zahlenrelationen stattfinden, welche zwischen den
entsprechenden Grössen erster Stufe eines andern Vereins (B)
herrschen: so ist der erste Verein (A) dann und nur dann als
Abschattung des zweiten (B) aufzufassen, wenn in dem ge-
meinschaftlichen Systeme beider Vereine die entsprechenden
Grössen zusammenfallen; und zwar ist dann der Sinn der Ab-
schattung vollkommen bestimmt.“
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 245. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/281>, abgerufen am 15.08.2024. |