Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

§ 154 Affinität.

Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischen
den Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine
von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be-
ziehung zu einander stehen, nennen wir affin ^*). Diese Gegensei-
tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede
einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine
von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch
unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in
C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B
herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin-
den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht,
zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. —
Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös-
sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem
in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol-
chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.
welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver-
eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen-
relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri-
gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen,
dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die-
selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr-
schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter
sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende
annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten
Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste
als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt
und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent-
sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur
dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also
einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten
Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit

*) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen
angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern
allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt.