Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.Verwandtschaftsbeziehungen. § 153 lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten ProduktesM und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer- den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab- schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel- len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N, wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um- fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist [Formel 3] , indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau- schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N, als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy- stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A', B', C', M', *) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = zu setzen haben. **) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor. Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: "weil das Sy- stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als der nullten sein kann" und im letzteren Falle "weil das System, welches AB und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann", indem näm- lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet. ***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar- stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft- liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um- fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy- stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben. Verwandtschaftsbeziehungen. § 153 lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten ProduktesM und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer- den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab- schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel- len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N, wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um- fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist [Formel 3] , indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau- schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N, als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy- stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′, *) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = zu setzen haben. **) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor. Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy- stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm- lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet. ***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar- stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft- liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um- fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy- stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0272" n="236"/><fw place="top" type="header">Verwandtschaftsbeziehungen. § 153</fw><lb/> lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes<lb/> M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-<lb/> den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-<lb/> schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-<lb/> len lassen <note place="foot" n="*)">In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum<lb/> Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = <formula notation="TeX">\frac {DM}{DB}</formula> und C = <formula notation="TeX">\frac {ND}{BD}</formula><lb/> zu setzen haben.</note>; und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das<lb/> Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden<lb/> Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als<lb/> dem Hauptsysteme umfasst werden können <note place="foot" n="**)">Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.<lb/> Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy-<lb/> stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als<lb/> der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB<lb/> und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm-<lb/> lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.</note>; denn würden sie<lb/> von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,<lb/> wie leicht zu sehen ist <note place="foot" n="***)">Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-<lb/> sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als<lb/> eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-<lb/> stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein<lb/> reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das<lb/> Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-<lb/> liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl<lb/> von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-<lb/> fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-<lb/> stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.</note>, von einem Systeme niederer Stufe um-<lb/> fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist<lb/><formula/>,<lb/> indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man<lb/> daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-<lb/> schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung<lb/> durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,<lb/> als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-<lb/> stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′,<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [236/0272]
Verwandtschaftsbeziehungen. § 153
lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes
M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-
den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-
schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-
len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das
Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden
Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als
dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie
von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,
wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um-
fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist
[FORMEL],
indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung
durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,
als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-
stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′,
*) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum
Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = [FORMEL] und C = [FORMEL]
zu setzen haben.
**) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.
Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy-
stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als
der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB
und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm-
lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.
***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als
eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-
stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein
reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das
Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-
liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl
von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-
fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-
stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 236. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/272>, abgerufen am 15.08.2024. |