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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 150

In der That, da LA nach der Definition gleich LA' ist, so ist auch
[Formel 1] und da hier gleichfalls nach der Definition A' und G einander ein-
geordnet sind, so kann man A' und G nach § 138 vertauschen und
erhält somit den Ausdruck der rechten Seite
[Formel 2] Somit ist nun, indem man durch LG die gewonnene Gleichung
LA . G = LG . A'
dividirt, die Richtigkeit der oben aufgestellten Gleichung
[Formel 3] erwiesen, d. h.

"man erhält die Abschattung einer Grösse, wenn man das Leit-
sytem mit ihr und dem Grundsysteme fortschreitend multipli-
cirt, und das Resultat durch das Produkt des Leitsystems in
das Grundsystem dividirt."

Hierdurch ist die in § 85 gestellte Aufgabe, die Abschattung
analytisch auszudrücken, wenn die abzuschattende Grösse und der
Sinn ihrer Abschattung d. h. Grundsystem und Leitsystem gegeben
sind, für reine Grössen allgemein gelöst.

§ 150. Für Beziehungsgrössen haben wir nur festzusetzen,
dass ihre Abschattung gefunden wird, wenn man sowohl ihren ei-
genthümlichen Werth in Bezug auf irgend ein Mass, als auch dies
Mass abschattet, und in den Ausdruck der Beziehungsgrösse diese
Abschattungen statt jener Grössen einführt. Ist z. B. H3 . A die
Beziehungsgrösse, H ihr Hauptmass und sind H', A' die Abschattun-
gen von H und A nach irgend einem Richtsysteme genommen, so
ist H'3 . A' die Abschattung der Beziehungsgrösse H3 . A nach dem-
selben Richtsysteme. Es liegt übrigens in der ursprünglichen De-
finition, dass die Abschattung einer Zahlengrösse sowohl, als einer
Grösse, die das Hauptsystem LG darstellt, der abgeschatteten Grösse
selbst gleich ist. Daraus folgt, dass, wenn das Beziehungssystem
einer Beziehungsgrösse mit dem Hauptsysteme LG zusammenfällt,
man dann, um die Beziehungsgrösse abzuschatten, nur ihren eigen-
thümlichen Werth abzuschatten braucht, und dass dann für die
Abschattung der Beziehungsgrösse noch die für reine Grössen auf-
gestellte Definition der Abschattung gilt. Wir wollen die Abschat-

Verwandtschaftsbeziehungen. § 150

In der That, da LA nach der Definition gleich LA′ ist, so ist auch
[Formel 1] und da hier gleichfalls nach der Definition A′ und G einander ein-
geordnet sind, so kann man A′ und G nach § 138 vertauschen und
erhält somit den Ausdruck der rechten Seite
[Formel 2] Somit ist nun, indem man durch LG die gewonnene Gleichung
LA . G = LG . A′
dividirt, die Richtigkeit der oben aufgestellten Gleichung
[Formel 3] erwiesen, d. h.

„man erhält die Abschattung einer Grösse, wenn man das Leit-
sytem mit ihr und dem Grundsysteme fortschreitend multipli-
cirt, und das Resultat durch das Produkt des Leitsystems in
das Grundsystem dividirt.“

Hierdurch ist die in § 85 gestellte Aufgabe, die Abschattung
analytisch auszudrücken, wenn die abzuschattende Grösse und der
Sinn ihrer Abschattung d. h. Grundsystem und Leitsystem gegeben
sind, für reine Grössen allgemein gelöst.

§ 150. Für Beziehungsgrössen haben wir nur festzusetzen,
dass ihre Abschattung gefunden wird, wenn man sowohl ihren ei-
genthümlichen Werth in Bezug auf irgend ein Mass, als auch dies
Mass abschattet, und in den Ausdruck der Beziehungsgrösse diese
Abschattungen statt jener Grössen einführt. Ist z. B. H3 . A die
Beziehungsgrösse, H ihr Hauptmass und sind H′, A′ die Abschattun-
gen von H und A nach irgend einem Richtsysteme genommen, so
ist H′3 . A′ die Abschattung der Beziehungsgrösse H3 . A nach dem-
selben Richtsysteme. Es liegt übrigens in der ursprünglichen De-
finition, dass die Abschattung einer Zahlengrösse sowohl, als einer
Grösse, die das Hauptsystem LG darstellt, der abgeschatteten Grösse
selbst gleich ist. Daraus folgt, dass, wenn das Beziehungssystem
einer Beziehungsgrösse mit dem Hauptsysteme LG zusammenfällt,
man dann, um die Beziehungsgrösse abzuschatten, nur ihren eigen-
thümlichen Werth abzuschatten braucht, und dass dann für die
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[230/0266] Verwandtschaftsbeziehungen. § 150 In der That, da LA nach der Definition gleich LA′ ist, so ist auch [FORMEL] und da hier gleichfalls nach der Definition A′ und G einander ein- geordnet sind, so kann man A′ und G nach § 138 vertauschen und erhält somit den Ausdruck der rechten Seite [FORMEL] Somit ist nun, indem man durch LG die gewonnene Gleichung LA . G = LG . A′ dividirt, die Richtigkeit der oben aufgestellten Gleichung [FORMEL] erwiesen, d. h. „man erhält die Abschattung einer Grösse, wenn man das Leit- sytem mit ihr und dem Grundsysteme fortschreitend multipli- cirt, und das Resultat durch das Produkt des Leitsystems in das Grundsystem dividirt.“ Hierdurch ist die in § 85 gestellte Aufgabe, die Abschattung analytisch auszudrücken, wenn die abzuschattende Grösse und der Sinn ihrer Abschattung d. h. Grundsystem und Leitsystem gegeben sind, für reine Grössen allgemein gelöst. § 150. Für Beziehungsgrössen haben wir nur festzusetzen, dass ihre Abschattung gefunden wird, wenn man sowohl ihren ei- genthümlichen Werth in Bezug auf irgend ein Mass, als auch dies Mass abschattet, und in den Ausdruck der Beziehungsgrösse diese Abschattungen statt jener Grössen einführt. Ist z. B. H3 . A die Beziehungsgrösse, H ihr Hauptmass und sind H′, A′ die Abschattun- gen von H und A nach irgend einem Richtsysteme genommen, so ist H′3 . A′ die Abschattung der Beziehungsgrösse H3 . A nach dem- selben Richtsysteme. Es liegt übrigens in der ursprünglichen De- finition, dass die Abschattung einer Zahlengrösse sowohl, als einer Grösse, die das Hauptsystem LG darstellt, der abgeschatteten Grösse selbst gleich ist. Daraus folgt, dass, wenn das Beziehungssystem einer Beziehungsgrösse mit dem Hauptsysteme LG zusammenfällt, man dann, um die Beziehungsgrösse abzuschatten, nur ihren eigen- thümlichen Werth abzuschatten braucht, und dass dann für die Abschattung der Beziehungsgrösse noch die für reine Grössen auf- gestellte Definition der Abschattung gilt. Wir wollen die Abschat-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 230. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/266>, abgerufen am 16.02.2025.