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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 136
[Formel 1]

Auf dieselbe Form nun führt der Ausdruck
[Formel 2] zurück; nämlich da EDC . A gleich EA . DC ist, so hat man jenen
Ausdruck
[Formel 3]

Daraus folgt also, dass man in einem Produkte von realem
geltenden Werthe mit zwei einander eingeordneten *) Faktoren
fortschreitend in beliebiger Ordnung multipliciren, oder auch mit
ihrem Produkte auf einmal multipliciren darf. Wenn c, d, e die
Stufenzahlen von C, D, E sind, so ist hier angenommen (s. den vo-
rigen §), dass EDC von A im (c + d)ten Grade von B im c-ten
Grade abhänge, und da in beiden Produkten
[Formel 4] die Multiplikationsweise als eine reale von geltendem Werthe ange-
nommen ist, wenn der so eben bezeichnete Grad der Abhängigkeit
statt findet, so wird jedes von beiden Produkten dann aber auch
nur dann null werden, wenn der Grad der Abhängigkeit wächst,
also wird, wenn eins dieser Produkte null wird, auch das andere
null werden müssen. Somit bleibt das angeführte Gesetz auch be-
stehen, wenn das Produkt nur als ein reales aufgefasst ist, und da
es sich von 2 einander eingeordneten Faktoren unmittelbar auf
mehrere übertragen lässt, so haben wir den Satz:

"Statt mit einem Produkte von einander eingeordneten Fakto-
ren zu multipliciren kann man mit den einzelnen Faktoren
fortschreitend multipliciren und zwar in beliebiger Ordnung."

Hierbei haben wir die Multiplikationsweisen so angenommen,
dass das Produkt bei demselben Abhängigkeitsverhältniss in allen
diesen Formen gleichzeitig als real erscheint. Dies Gesetz drückt
somit eine Erweiterung des zweiten Theils der Definition (§ 134)
aus, dass man, statt mit einem Produkt, welches in Form der Un-
terordnung erscheint, mit den Faktoren desselben fortschreitend
multipliciren darf. Das Gesetz, was den ersten Theil der Definition

*) Einander eingeordnete Grössen nennen wir solche, von denen die eine
der andern untergeordnet ist.

Das eingewandte Produkt. § 136
[Formel 1]

Auf dieselbe Form nun führt der Ausdruck
[Formel 2] zurück; nämlich da EDC . A gleich EA . DC ist, so hat man jenen
Ausdruck
[Formel 3]

Daraus folgt also, dass man in einem Produkte von realem
geltenden Werthe mit zwei einander eingeordneten *) Faktoren
fortschreitend in beliebiger Ordnung multipliciren, oder auch mit
ihrem Produkte auf einmal multipliciren darf. Wenn c, d, e die
Stufenzahlen von C, D, E sind, so ist hier angenommen (s. den vo-
rigen §), dass EDC von A im (c + d)ten Grade von B im c-ten
Grade abhänge, und da in beiden Produkten
[Formel 4] die Multiplikationsweise als eine reale von geltendem Werthe ange-
nommen ist, wenn der so eben bezeichnete Grad der Abhängigkeit
statt findet, so wird jedes von beiden Produkten dann aber auch
nur dann null werden, wenn der Grad der Abhängigkeit wächst,
also wird, wenn eins dieser Produkte null wird, auch das andere
null werden müssen. Somit bleibt das angeführte Gesetz auch be-
stehen, wenn das Produkt nur als ein reales aufgefasst ist, und da
es sich von 2 einander eingeordneten Faktoren unmittelbar auf
mehrere übertragen lässt, so haben wir den Satz:

„Statt mit einem Produkte von einander eingeordneten Fakto-
ren zu multipliciren kann man mit den einzelnen Faktoren
fortschreitend multipliciren und zwar in beliebiger Ordnung.“

Hierbei haben wir die Multiplikationsweisen so angenommen,
dass das Produkt bei demselben Abhängigkeitsverhältniss in allen
diesen Formen gleichzeitig als real erscheint. Dies Gesetz drückt
somit eine Erweiterung des zweiten Theils der Definition (§ 134)
aus, dass man, statt mit einem Produkt, welches in Form der Un-
terordnung erscheint, mit den Faktoren desselben fortschreitend
multipliciren darf. Das Gesetz, was den ersten Theil der Definition

*) Einander eingeordnete Grössen nennen wir solche, von denen die eine
der andern untergeordnet ist.
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[202/0238] Das eingewandte Produkt. § 136 [FORMEL] Auf dieselbe Form nun führt der Ausdruck [FORMEL] zurück; nämlich da EDC . A gleich EA . DC ist, so hat man jenen Ausdruck [FORMEL] Daraus folgt also, dass man in einem Produkte von realem geltenden Werthe mit zwei einander eingeordneten *) Faktoren fortschreitend in beliebiger Ordnung multipliciren, oder auch mit ihrem Produkte auf einmal multipliciren darf. Wenn c, d, e die Stufenzahlen von C, D, E sind, so ist hier angenommen (s. den vo- rigen §), dass EDC von A im (c + d)ten Grade von B im c-ten Grade abhänge, und da in beiden Produkten [FORMEL] die Multiplikationsweise als eine reale von geltendem Werthe ange- nommen ist, wenn der so eben bezeichnete Grad der Abhängigkeit statt findet, so wird jedes von beiden Produkten dann aber auch nur dann null werden, wenn der Grad der Abhängigkeit wächst, also wird, wenn eins dieser Produkte null wird, auch das andere null werden müssen. Somit bleibt das angeführte Gesetz auch be- stehen, wenn das Produkt nur als ein reales aufgefasst ist, und da es sich von 2 einander eingeordneten Faktoren unmittelbar auf mehrere übertragen lässt, so haben wir den Satz: „Statt mit einem Produkte von einander eingeordneten Fakto- ren zu multipliciren kann man mit den einzelnen Faktoren fortschreitend multipliciren und zwar in beliebiger Ordnung.“ Hierbei haben wir die Multiplikationsweisen so angenommen, dass das Produkt bei demselben Abhängigkeitsverhältniss in allen diesen Formen gleichzeitig als real erscheint. Dies Gesetz drückt somit eine Erweiterung des zweiten Theils der Definition (§ 134) aus, dass man, statt mit einem Produkt, welches in Form der Un- terordnung erscheint, mit den Faktoren desselben fortschreitend multipliciren darf. Das Gesetz, was den ersten Theil der Definition *) Einander eingeordnete Grössen nennen wir solche, von denen die eine der andern untergeordnet ist.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 202. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/238>, abgerufen am 27.11.2024.