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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 133
tauschungsgesetz ableiten. Betrachten wir nämlich zwei Produkte
von geltendem Werthe,
[Formel 1] in welchen der Punkt die eingewandte Multiplikation, das unmittel-
bare Zusammenschreiben die äussere Multiplikation andeuten soll,
und in welcher der Faktor A das gemeinschaftliche System, ABC
oder ACB also das nächstumfassende System oder das Beziehungs-
system darstellt, so hat man nach dem vorhergehenden Paragraphen
[Formel 2] Beide Produkte sind also einander gleich oder entgegengesetzt, je
nachdem ABC und ACB es sind, d. h. je nachdem die äusseren
Faktoren B und C sich ohne oder mit Zeichenwechsel vertauschen
lassen. Nun hat man bei der Vertauschung zweier äusseren Fak-
toren, welche auf einander folgen (nach § 55), nur dann (aber auch
stets dann) das Vorzeichen zu ändern, wenn die Stufenzahlen bei-
der Faktoren ungerade sind. Man wird also auch die Faktoren je-
nes eingewandten Produktes mit oder ohne Zeichenwechsel vertau-
schen können, je nachdem die Stufenzahlen von B und C beide zu-
gleich ungerade sind oder nicht. Die Stufenzahlen von B und C
ergänzen aber die der eingewandten Faktoren AC und AB zu der
Stufenzahl des Beziehungssystemes ABC. Nennen wir daher dieje-
nige Zahl, welche die Stufenzahl einer Grösse zu der des Be-
ziehungssystemes ergänzt, die Ergänzzahl jener Grösse (in Bezug
auf jenes System), so haben wir das Gesetz:

"Die beiden Faktoren eines eingewandten Produktes lassen
sich mit oder ohne Zeichenwechsel vertauschen, je nachdem
die Ergänzzahlen der Faktoren beide zugleich ungerade sind
oder nicht."

Hierin liegt zugleich, dass ein Faktor, welcher das Beziehungs-
system darstellt, sich ohne Zeichenänderung vertauschen lässt, da
seine Ergänzzahl null, also gerade ist. Es entspricht dies Gesetz
dem in § 55 für die äussere Multiplikation aufgestellten, womit
noch der Satz in § 68 über die willkührliche Stellung der Zahlen-
grösse zu vergleichen ist. Da hier die Ergänzzahlen in die Stelle
der dort vorkommenden Stufenzahlen eintreten, so erscheint es
überhaupt als zweckmässig, auch für die übrigen Sätze der äusse-

Das eingewandte Produkt. § 133
tauschungsgesetz ableiten. Betrachten wir nämlich zwei Produkte
von geltendem Werthe,
[Formel 1] in welchen der Punkt die eingewandte Multiplikation, das unmittel-
bare Zusammenschreiben die äussere Multiplikation andeuten soll,
und in welcher der Faktor A das gemeinschaftliche System, ABC
oder ACB also das nächstumfassende System oder das Beziehungs-
system darstellt, so hat man nach dem vorhergehenden Paragraphen
[Formel 2] Beide Produkte sind also einander gleich oder entgegengesetzt, je
nachdem ABC und ACB es sind, d. h. je nachdem die äusseren
Faktoren B und C sich ohne oder mit Zeichenwechsel vertauschen
lassen. Nun hat man bei der Vertauschung zweier äusseren Fak-
toren, welche auf einander folgen (nach § 55), nur dann (aber auch
stets dann) das Vorzeichen zu ändern, wenn die Stufenzahlen bei-
der Faktoren ungerade sind. Man wird also auch die Faktoren je-
nes eingewandten Produktes mit oder ohne Zeichenwechsel vertau-
schen können, je nachdem die Stufenzahlen von B und C beide zu-
gleich ungerade sind oder nicht. Die Stufenzahlen von B und C
ergänzen aber die der eingewandten Faktoren AC und AB zu der
Stufenzahl des Beziehungssystemes ABC. Nennen wir daher dieje-
nige Zahl, welche die Stufenzahl einer Grösse zu der des Be-
ziehungssystemes ergänzt, die Ergänzzahl jener Grösse (in Bezug
auf jenes System), so haben wir das Gesetz:

„Die beiden Faktoren eines eingewandten Produktes lassen
sich mit oder ohne Zeichenwechsel vertauschen, je nachdem
die Ergänzzahlen der Faktoren beide zugleich ungerade sind
oder nicht.“

Hierin liegt zugleich, dass ein Faktor, welcher das Beziehungs-
system darstellt, sich ohne Zeichenänderung vertauschen lässt, da
seine Ergänzzahl null, also gerade ist. Es entspricht dies Gesetz
dem in § 55 für die äussere Multiplikation aufgestellten, womit
noch der Satz in § 68 über die willkührliche Stellung der Zahlen-
grösse zu vergleichen ist. Da hier die Ergänzzahlen in die Stelle
der dort vorkommenden Stufenzahlen eintreten, so erscheint es
überhaupt als zweckmässig, auch für die übrigen Sätze der äusse-

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[196/0232] Das eingewandte Produkt. § 133 tauschungsgesetz ableiten. Betrachten wir nämlich zwei Produkte von geltendem Werthe, [FORMEL] in welchen der Punkt die eingewandte Multiplikation, das unmittel- bare Zusammenschreiben die äussere Multiplikation andeuten soll, und in welcher der Faktor A das gemeinschaftliche System, ABC oder ACB also das nächstumfassende System oder das Beziehungs- system darstellt, so hat man nach dem vorhergehenden Paragraphen [FORMEL] Beide Produkte sind also einander gleich oder entgegengesetzt, je nachdem ABC und ACB es sind, d. h. je nachdem die äusseren Faktoren B und C sich ohne oder mit Zeichenwechsel vertauschen lassen. Nun hat man bei der Vertauschung zweier äusseren Fak- toren, welche auf einander folgen (nach § 55), nur dann (aber auch stets dann) das Vorzeichen zu ändern, wenn die Stufenzahlen bei- der Faktoren ungerade sind. Man wird also auch die Faktoren je- nes eingewandten Produktes mit oder ohne Zeichenwechsel vertau- schen können, je nachdem die Stufenzahlen von B und C beide zu- gleich ungerade sind oder nicht. Die Stufenzahlen von B und C ergänzen aber die der eingewandten Faktoren AC und AB zu der Stufenzahl des Beziehungssystemes ABC. Nennen wir daher dieje- nige Zahl, welche die Stufenzahl einer Grösse zu der des Be- ziehungssystemes ergänzt, die Ergänzzahl jener Grösse (in Bezug auf jenes System), so haben wir das Gesetz: „Die beiden Faktoren eines eingewandten Produktes lassen sich mit oder ohne Zeichenwechsel vertauschen, je nachdem die Ergänzzahlen der Faktoren beide zugleich ungerade sind oder nicht.“ Hierin liegt zugleich, dass ein Faktor, welcher das Beziehungs- system darstellt, sich ohne Zeichenänderung vertauschen lässt, da seine Ergänzzahl null, also gerade ist. Es entspricht dies Gesetz dem in § 55 für die äussere Multiplikation aufgestellten, womit noch der Satz in § 68 über die willkührliche Stellung der Zahlen- grösse zu vergleichen ist. Da hier die Ergänzzahlen in die Stelle der dort vorkommenden Stufenzahlen eintreten, so erscheint es überhaupt als zweckmässig, auch für die übrigen Sätze der äusse-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 196. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/232>, abgerufen am 23.11.2024.