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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 131
nisse ändern. *) Da nun hierin zugleich schon liegt, dass ihre Sy-
steme konstant bleiben, so können wir als Resultat der bisherigen
Entwickelung den Satz aussprechen, "dass, wenn ein eingewandtes
Produkt auf den Ausdruck A . CD gebracht ist, in welchem der mitt-
lere Faktor C das den beiden Faktoren des eingewandten Produktes
A und CD gemeinschaftliche System darstellt, dann C und AD, d. h.
der mittlere Faktor und das Produkt der beiden äussern sich nur
im umgekehrten Verhältnisse ändern können, wenn das ganze Pro-
dukt konstanten Werth behalten soll."

§ 131. Um die Bedeutung des eingewandten Produktes voll-
ständig zu gewinnen, bleibt noch die Frage zu beantworten, ob
diese beiden Systeme, die durch den mittleren und durch das Pro-
dukt der äusseren Faktoren dargestellt sind, nebst dem auf sie in
multiplikativer Weise zu vertheilenden Quantum, dasjenige, was bei
ungeändertem Werthe des eingewandten Produktes konstant bleibt,
vollständig darstellen, oder mit andern Worten, ob, wenn sich jene
Grössen C und AD in umgekehrtem Verhältnisse ändern, das Pro-
dukt A . CD stets konstanten Werth behalte, vorausgesetzt, dass der
mittlere Faktor C unausgesetzt das den beiden Faktoren A und CD
gemeinschaftliche System darstelle. Dass dies in der That der
Fall sei, können wir leicht beweisen, wenn wir noch voraussetzen,
dass die eingewandten Faktoren gleiche Stufenzahl behalten. Zu
dem Ende seien A . CD und A' . C'D' zwei solche Produkte, in wel-
chen der mittlere Faktor C oder C' das den beiden eingewandten
Faktoren A und CD oder A' und C'D' gemeinschaftliche System dar-
stellt. Wir setzen voraus, dass beim Uebergange aus dem einen
Ausdrucke in den andern AD sich im umgekehrten Verhältnisse
geändert habe wie C (worin schon liegt, dass ihre Systeme konstant
geblieben sind), und dass die Stufenzahl von A und die von CD
dieselben geblieben seien. Wir wollen zeigen, dass beide Produkte
A . CD und A' . C'D' einander gleich seien. Zunächst können wir

*) Geht z. B. A über in mA, so wird CD übergehen in oder C; geht
zugleich C über in nC, so geht über in ; das Produkt der äusseren Faktoren
AD ist dann übergegangen in , während C in nC übergegangen ist.

Das eingewandte Produkt. § 131
nisse ändern. *) Da nun hierin zugleich schon liegt, dass ihre Sy-
steme konstant bleiben, so können wir als Resultat der bisherigen
Entwickelung den Satz aussprechen, „dass, wenn ein eingewandtes
Produkt auf den Ausdruck A . CD gebracht ist, in welchem der mitt-
lere Faktor C das den beiden Faktoren des eingewandten Produktes
A und CD gemeinschaftliche System darstellt, dann C und AD, d. h.
der mittlere Faktor und das Produkt der beiden äussern sich nur
im umgekehrten Verhältnisse ändern können, wenn das ganze Pro-
dukt konstanten Werth behalten soll.“

§ 131. Um die Bedeutung des eingewandten Produktes voll-
ständig zu gewinnen, bleibt noch die Frage zu beantworten, ob
diese beiden Systeme, die durch den mittleren und durch das Pro-
dukt der äusseren Faktoren dargestellt sind, nebst dem auf sie in
multiplikativer Weise zu vertheilenden Quantum, dasjenige, was bei
ungeändertem Werthe des eingewandten Produktes konstant bleibt,
vollständig darstellen, oder mit andern Worten, ob, wenn sich jene
Grössen C und AD in umgekehrtem Verhältnisse ändern, das Pro-
dukt A . CD stets konstanten Werth behalte, vorausgesetzt, dass der
mittlere Faktor C unausgesetzt das den beiden Faktoren A und CD
gemeinschaftliche System darstelle. Dass dies in der That der
Fall sei, können wir leicht beweisen, wenn wir noch voraussetzen,
dass die eingewandten Faktoren gleiche Stufenzahl behalten. Zu
dem Ende seien A . CD und A′ . C′D′ zwei solche Produkte, in wel-
chen der mittlere Faktor C oder C′ das den beiden eingewandten
Faktoren A und CD oder A′ und C′D′ gemeinschaftliche System dar-
stellt. Wir setzen voraus, dass beim Uebergange aus dem einen
Ausdrucke in den andern AD sich im umgekehrten Verhältnisse
geändert habe wie C (worin schon liegt, dass ihre Systeme konstant
geblieben sind), und dass die Stufenzahl von A und die von CD
dieselben geblieben seien. Wir wollen zeigen, dass beide Produkte
A . CD und A′ . C′D′ einander gleich seien. Zunächst können wir

*) Geht z. B. A über in mA, so wird CD übergehen in oder C; geht
zugleich C über in nC, so geht über in ; das Produkt der äusseren Faktoren
AD ist dann übergegangen in , während C in nC übergegangen ist.
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[192/0228] Das eingewandte Produkt. § 131 nisse ändern. *) Da nun hierin zugleich schon liegt, dass ihre Sy- steme konstant bleiben, so können wir als Resultat der bisherigen Entwickelung den Satz aussprechen, „dass, wenn ein eingewandtes Produkt auf den Ausdruck A . CD gebracht ist, in welchem der mitt- lere Faktor C das den beiden Faktoren des eingewandten Produktes A und CD gemeinschaftliche System darstellt, dann C und AD, d. h. der mittlere Faktor und das Produkt der beiden äussern sich nur im umgekehrten Verhältnisse ändern können, wenn das ganze Pro- dukt konstanten Werth behalten soll.“ § 131. Um die Bedeutung des eingewandten Produktes voll- ständig zu gewinnen, bleibt noch die Frage zu beantworten, ob diese beiden Systeme, die durch den mittleren und durch das Pro- dukt der äusseren Faktoren dargestellt sind, nebst dem auf sie in multiplikativer Weise zu vertheilenden Quantum, dasjenige, was bei ungeändertem Werthe des eingewandten Produktes konstant bleibt, vollständig darstellen, oder mit andern Worten, ob, wenn sich jene Grössen C und AD in umgekehrtem Verhältnisse ändern, das Pro- dukt A . CD stets konstanten Werth behalte, vorausgesetzt, dass der mittlere Faktor C unausgesetzt das den beiden Faktoren A und CD gemeinschaftliche System darstelle. Dass dies in der That der Fall sei, können wir leicht beweisen, wenn wir noch voraussetzen, dass die eingewandten Faktoren gleiche Stufenzahl behalten. Zu dem Ende seien A . CD und A′ . C′D′ zwei solche Produkte, in wel- chen der mittlere Faktor C oder C′ das den beiden eingewandten Faktoren A und CD oder A′ und C′D′ gemeinschaftliche System dar- stellt. Wir setzen voraus, dass beim Uebergange aus dem einen Ausdrucke in den andern AD sich im umgekehrten Verhältnisse geändert habe wie C (worin schon liegt, dass ihre Systeme konstant geblieben sind), und dass die Stufenzahl von A und die von CD dieselben geblieben seien. Wir wollen zeigen, dass beide Produkte A . CD und A′ . C′D′ einander gleich seien. Zunächst können wir *) Geht z. B. A über in mA, so wird CD übergehen in [FORMEL] oder C[FORMEL]; geht zugleich C über in nC, so geht [FORMEL] über in [FORMEL]; das Produkt der äusseren Faktoren AD ist dann übergegangen in [FORMEL], während C in nC übergegangen ist.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 192. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/228>, abgerufen am 27.11.2024.