Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 130 Das eingewandte Prod. in Form der Unterordnung. nition verstatteten Formänderungen sind erstens die allgemein mul-tiplikative, dass man die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än- dern darf, und zweitens die besondere, dass man aus dem einen Faktor ein Stück weglassen darf, was von dem andern Faktor in ei- nem höheren Grade abhängt, als die Stufe des eingewandten Pro- duktes beträgt, oder, aufs Beziehungssystem zurückgeführt, dass man aus dem einen Faktor ein Stück weglassen darf, welches mit dem andern Faktor zusammen von einem Systeme umfasst wird, dessen Stufe kleiner ist als die Beziehungszahl. Als einfachster Fall erscheint der, wo der eine Faktor das Beziehungssystem dar- stellt, der andere also ihm untergeordnet ist, oder kürzer ausge- drückt, wo das Produkt in Form der Unterordnung erscheint. Da hier das nächst umfassende System immer zugleich das Bezie- hungssystem ist, so kann keinem der Faktoren ein geltendes Stück hinzugefügt werden, ohne den Werth des Produktes zu ändern. Die einzige Formänderung, welche den Werth des Produktes unge- ändert lässt, ist daher die allgemein multiplikative, dass nämlich die Faktoren sich in umgekehrtem Verhältnisse ändern dürfen, also [Formel 1] gesetzt werden kann, wenn m irgend eine Zahlengrösse darstellt. Es bleiben somit bei allen verstatteten Formänderungen die Sy- steme der beiden Faktoren konstant, und ihre Grösse ändert sich dabei nur in umgekehrtem Verhältnisse. Die Zusammenschauung beider Systeme nebst dem auf beide Faktoren auf multiplikative Weise zu vertheilenden Quantum bildet daher den Werth jenes Produktes. § 130. Sind in dem allgemeineren Falle A und B die beiden *) Wir setzen hier natürlich voraus, dass das Produkt nicht null sei, weil
für den Fall, dass es null ist, keine Ermittelung seines Werthes mehr nöthig ist. § 130 Das eingewandte Prod. in Form der Unterordnung. nition verstatteten Formänderungen sind erstens die allgemein mul-tiplikative, dass man die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än- dern darf, und zweitens die besondere, dass man aus dem einen Faktor ein Stück weglassen darf, was von dem andern Faktor in ei- nem höheren Grade abhängt, als die Stufe des eingewandten Pro- duktes beträgt, oder, aufs Beziehungssystem zurückgeführt, dass man aus dem einen Faktor ein Stück weglassen darf, welches mit dem andern Faktor zusammen von einem Systeme umfasst wird, dessen Stufe kleiner ist als die Beziehungszahl. Als einfachster Fall erscheint der, wo der eine Faktor das Beziehungssystem dar- stellt, der andere also ihm untergeordnet ist, oder kürzer ausge- drückt, wo das Produkt in Form der Unterordnung erscheint. Da hier das nächst umfassende System immer zugleich das Bezie- hungssystem ist, so kann keinem der Faktoren ein geltendes Stück hinzugefügt werden, ohne den Werth des Produktes zu ändern. Die einzige Formänderung, welche den Werth des Produktes unge- ändert lässt, ist daher die allgemein multiplikative, dass nämlich die Faktoren sich in umgekehrtem Verhältnisse ändern dürfen, also [Formel 1] gesetzt werden kann, wenn m irgend eine Zahlengrösse darstellt. Es bleiben somit bei allen verstatteten Formänderungen die Sy- steme der beiden Faktoren konstant, und ihre Grösse ändert sich dabei nur in umgekehrtem Verhältnisse. Die Zusammenschauung beider Systeme nebst dem auf beide Faktoren auf multiplikative Weise zu vertheilenden Quantum bildet daher den Werth jenes Produktes. § 130. Sind in dem allgemeineren Falle A und B die beiden *) Wir setzen hier natürlich voraus, dass das Produkt nicht null sei, weil
für den Fall, dass es null ist, keine Ermittelung seines Werthes mehr nöthig ist. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0225" n="189"/><fw place="top" type="header">§ 130 Das eingewandte Prod. in Form der Unterordnung.</fw><lb/> nition verstatteten Formänderungen sind erstens die allgemein mul-<lb/> tiplikative, dass man die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än-<lb/> dern darf, und zweitens die besondere, dass man aus dem einen<lb/> Faktor ein Stück weglassen darf, was von dem andern Faktor in ei-<lb/> nem höheren Grade abhängt, als die Stufe des eingewandten Pro-<lb/> duktes beträgt, oder, aufs Beziehungssystem zurückgeführt, dass<lb/> man aus dem einen Faktor ein Stück weglassen darf, welches mit<lb/> dem andern Faktor zusammen von einem Systeme umfasst wird,<lb/> dessen Stufe kleiner ist als die Beziehungszahl. Als einfachster<lb/> Fall erscheint der, wo der eine Faktor das Beziehungssystem dar-<lb/> stellt, der andere also ihm untergeordnet ist, oder kürzer ausge-<lb/> drückt, wo das Produkt in <hi rendition="#g">Form der Unterordnung</hi> erscheint.<lb/> Da hier das nächst umfassende System immer zugleich das Bezie-<lb/> hungssystem ist, so kann keinem der Faktoren ein geltendes Stück<lb/> hinzugefügt werden, ohne den Werth des Produktes zu ändern.<lb/> Die einzige Formänderung, welche den Werth des Produktes unge-<lb/> ändert lässt, ist daher die allgemein multiplikative, dass nämlich<lb/> die Faktoren sich in umgekehrtem Verhältnisse ändern dürfen, also<lb/><formula/> gesetzt werden kann, wenn m irgend eine Zahlengrösse darstellt.<lb/> Es bleiben somit bei allen verstatteten Formänderungen die Sy-<lb/> steme der beiden Faktoren konstant, und ihre Grösse ändert sich<lb/> dabei nur in umgekehrtem Verhältnisse. Die Zusammenschauung<lb/> beider Systeme nebst dem auf beide Faktoren auf multiplikative<lb/> Weise zu vertheilenden Quantum bildet daher den Werth jenes<lb/> Produktes.</p><lb/> <p>§ 130. Sind in dem allgemeineren Falle A und B die beiden<lb/> Faktoren des eingewandten Produktes, und stellt die Grösse C,<lb/> deren Stufenzahl c sei, das beiden Faktoren gemeinschaftliche Sy-<lb/> stem dar; so wird, wenn B gleich CD gesetzt wird, AD nach § 126<lb/> das nächstumfassende System, also auch nach § 128, wenn das<lb/> Produkt nicht null ist, das Beziehungssystem darstellen. <note place="foot" n="*)">Wir setzen hier natürlich voraus, dass das Produkt nicht null sei, weil<lb/> für den Fall, dass es null ist, keine Ermittelung seines Werthes mehr nöthig ist.</note> Nun<lb/> zeigten wir in § 129, dass dann ausser der allgemeinen multiplika-<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [189/0225]
§ 130 Das eingewandte Prod. in Form der Unterordnung.
nition verstatteten Formänderungen sind erstens die allgemein mul-
tiplikative, dass man die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än-
dern darf, und zweitens die besondere, dass man aus dem einen
Faktor ein Stück weglassen darf, was von dem andern Faktor in ei-
nem höheren Grade abhängt, als die Stufe des eingewandten Pro-
duktes beträgt, oder, aufs Beziehungssystem zurückgeführt, dass
man aus dem einen Faktor ein Stück weglassen darf, welches mit
dem andern Faktor zusammen von einem Systeme umfasst wird,
dessen Stufe kleiner ist als die Beziehungszahl. Als einfachster
Fall erscheint der, wo der eine Faktor das Beziehungssystem dar-
stellt, der andere also ihm untergeordnet ist, oder kürzer ausge-
drückt, wo das Produkt in Form der Unterordnung erscheint.
Da hier das nächst umfassende System immer zugleich das Bezie-
hungssystem ist, so kann keinem der Faktoren ein geltendes Stück
hinzugefügt werden, ohne den Werth des Produktes zu ändern.
Die einzige Formänderung, welche den Werth des Produktes unge-
ändert lässt, ist daher die allgemein multiplikative, dass nämlich
die Faktoren sich in umgekehrtem Verhältnisse ändern dürfen, also
[FORMEL] gesetzt werden kann, wenn m irgend eine Zahlengrösse darstellt.
Es bleiben somit bei allen verstatteten Formänderungen die Sy-
steme der beiden Faktoren konstant, und ihre Grösse ändert sich
dabei nur in umgekehrtem Verhältnisse. Die Zusammenschauung
beider Systeme nebst dem auf beide Faktoren auf multiplikative
Weise zu vertheilenden Quantum bildet daher den Werth jenes
Produktes.
§ 130. Sind in dem allgemeineren Falle A und B die beiden
Faktoren des eingewandten Produktes, und stellt die Grösse C,
deren Stufenzahl c sei, das beiden Faktoren gemeinschaftliche Sy-
stem dar; so wird, wenn B gleich CD gesetzt wird, AD nach § 126
das nächstumfassende System, also auch nach § 128, wenn das
Produkt nicht null ist, das Beziehungssystem darstellen. *) Nun
zeigten wir in § 129, dass dann ausser der allgemeinen multiplika-
*) Wir setzen hier natürlich voraus, dass das Produkt nicht null sei, weil
für den Fall, dass es null ist, keine Ermittelung seines Werthes mehr nöthig ist.
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