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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 128 Beziehungssystem. -- Einheit d. äusseren u. eingewandten Mult.
system des Produktes *), und wenn diesem Beziehungssysteme zu-
gleich beide Faktoren angehören, so nennen wir dasselbe auch (der
früheren Benennungsweise gemäss) das Hauptsystem des Produktes.
Dann können wir sagen, das eingewandte Produkt sei immer ein
reales, wenn die Faktoren dem Beziehungssysteme angehören, es
sei zugleich von geltendem Werthe, wenn das die Faktoren zunächst
umfassende System zugleich das Beziehungssystem des Produktes
ist, und es sei null, wenn das nächstumfassende System beider
Faktoren dem Beziehungssysteme des Produktes untergeordnet und
von niederer Stufe ist.

§ 128. Das äussere Produkt zweier geltender Grössen zeigte
sich nach § 55 dann als null, wenn sie von einander unabhängig
sind, d. h. wenn die Stufe des sie zunächst umfassenden Systemes
kleiner ist, als die Stufensumme der beiden Faktoren; oder, da wir
für das äussere Produkt jedes System, welchem die Faktoren unter-
geordnet sind, und dessen Stufenzahl grösser oder eben so gross
ist, wie jene Summe, als Beziehungssystem ansehen können, so kön-
nen wir das Gesetz des vorigen § erweiternd sagen:

"Ein Produkt zweier geltenden Werthe ist dann und nur dann
null, wenn die Faktoren von einander abhängig sind, und zu-
gleich ihr nächstumfassendes System niedriger ist als das Be-
ziehungssystem."

Hierin liegt dann zugleich, "dass ein solches Produkt nur dann
einen geltenden Werth hat, wenn entweder beide Faktoren von ein-
ander unabhängig sind, oder ihr nächstumfassendes System das Be-
ziehungssystem ist." Und zwar ist im ersteren Falle das Produkt
ein äusseres, im letzteren ein eingewandtes. Wenn beide Bedin-
gungen zugleich eintreten, d. h. beide Faktoren von einander unab-
hängig sind und zugleich ihr nächstumfassendes System das Be-
ziehungssystem ist, so kann die Multiplikation nicht nur als äussere,
sondern auch als eingewandte nullten Grades aufgefasst werden.
Dadurch erweitert sich der zweite Satz des vorigen Paragraphen zu
folgendem Satze:

*) Die Stufenzahl dieses Produktes ist eben die Zahl, die wir oben Be-
ziehungszahl nannten.

§ 128 Beziehungssystem. — Einheit d. äusseren u. eingewandten Mult.
system des Produktes *), und wenn diesem Beziehungssysteme zu-
gleich beide Faktoren angehören, so nennen wir dasselbe auch (der
früheren Benennungsweise gemäss) das Hauptsystem des Produktes.
Dann können wir sagen, das eingewandte Produkt sei immer ein
reales, wenn die Faktoren dem Beziehungssysteme angehören, es
sei zugleich von geltendem Werthe, wenn das die Faktoren zunächst
umfassende System zugleich das Beziehungssystem des Produktes
ist, und es sei null, wenn das nächstumfassende System beider
Faktoren dem Beziehungssysteme des Produktes untergeordnet und
von niederer Stufe ist.

§ 128. Das äussere Produkt zweier geltender Grössen zeigte
sich nach § 55 dann als null, wenn sie von einander unabhängig
sind, d. h. wenn die Stufe des sie zunächst umfassenden Systemes
kleiner ist, als die Stufensumme der beiden Faktoren; oder, da wir
für das äussere Produkt jedes System, welchem die Faktoren unter-
geordnet sind, und dessen Stufenzahl grösser oder eben so gross
ist, wie jene Summe, als Beziehungssystem ansehen können, so kön-
nen wir das Gesetz des vorigen § erweiternd sagen:

„Ein Produkt zweier geltenden Werthe ist dann und nur dann
null, wenn die Faktoren von einander abhängig sind, und zu-
gleich ihr nächstumfassendes System niedriger ist als das Be-
ziehungssystem.“

Hierin liegt dann zugleich, „dass ein solches Produkt nur dann
einen geltenden Werth hat, wenn entweder beide Faktoren von ein-
ander unabhängig sind, oder ihr nächstumfassendes System das Be-
ziehungssystem ist.“ Und zwar ist im ersteren Falle das Produkt
ein äusseres, im letzteren ein eingewandtes. Wenn beide Bedin-
gungen zugleich eintreten, d. h. beide Faktoren von einander unab-
hängig sind und zugleich ihr nächstumfassendes System das Be-
ziehungssystem ist, so kann die Multiplikation nicht nur als äussere,
sondern auch als eingewandte nullten Grades aufgefasst werden.
Dadurch erweitert sich der zweite Satz des vorigen Paragraphen zu
folgendem Satze:

*) Die Stufenzahl dieses Produktes ist eben die Zahl, die wir oben Be-
ziehungszahl nannten.
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[187/0223] § 128 Beziehungssystem. — Einheit d. äusseren u. eingewandten Mult. system des Produktes *), und wenn diesem Beziehungssysteme zu- gleich beide Faktoren angehören, so nennen wir dasselbe auch (der früheren Benennungsweise gemäss) das Hauptsystem des Produktes. Dann können wir sagen, das eingewandte Produkt sei immer ein reales, wenn die Faktoren dem Beziehungssysteme angehören, es sei zugleich von geltendem Werthe, wenn das die Faktoren zunächst umfassende System zugleich das Beziehungssystem des Produktes ist, und es sei null, wenn das nächstumfassende System beider Faktoren dem Beziehungssysteme des Produktes untergeordnet und von niederer Stufe ist. § 128. Das äussere Produkt zweier geltender Grössen zeigte sich nach § 55 dann als null, wenn sie von einander unabhängig sind, d. h. wenn die Stufe des sie zunächst umfassenden Systemes kleiner ist, als die Stufensumme der beiden Faktoren; oder, da wir für das äussere Produkt jedes System, welchem die Faktoren unter- geordnet sind, und dessen Stufenzahl grösser oder eben so gross ist, wie jene Summe, als Beziehungssystem ansehen können, so kön- nen wir das Gesetz des vorigen § erweiternd sagen: „Ein Produkt zweier geltenden Werthe ist dann und nur dann null, wenn die Faktoren von einander abhängig sind, und zu- gleich ihr nächstumfassendes System niedriger ist als das Be- ziehungssystem.“ Hierin liegt dann zugleich, „dass ein solches Produkt nur dann einen geltenden Werth hat, wenn entweder beide Faktoren von ein- ander unabhängig sind, oder ihr nächstumfassendes System das Be- ziehungssystem ist.“ Und zwar ist im ersteren Falle das Produkt ein äusseres, im letzteren ein eingewandtes. Wenn beide Bedin- gungen zugleich eintreten, d. h. beide Faktoren von einander unab- hängig sind und zugleich ihr nächstumfassendes System das Be- ziehungssystem ist, so kann die Multiplikation nicht nur als äussere, sondern auch als eingewandte nullten Grades aufgefasst werden. Dadurch erweitert sich der zweite Satz des vorigen Paragraphen zu folgendem Satze: *) Die Stufenzahl dieses Produktes ist eben die Zahl, die wir oben Be- ziehungszahl nannten.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 187. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/223>, abgerufen am 17.02.2025.