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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 127

§ 127. Es hatte nach § 125 ein eingewandtes Produkt zweier
geltenden Werthe dann und nur dann wiederum einen geltenden
realen Werth, wenn die Stufe des ihnen gemeinschaftlichen Sy-
stems gleich war der Stufe der eingewandten Multiplikation, oder
mit Anwendung des im vorigen Paragraphen bewiesenen Gesetzes,
wenn die Stufe des nächstumfassenden Systemes und die der ein-
gewandten Multiplikation zusammen gleich der Stufensumme beider
Faktoren sind. Nennen wir nun im Allgemeinen diejenige Zahl,
welche die Stufe der eingewandten Multiplikation zur Stufensumme
beider Faktoren ergänzt die Beziehungszahl des eingewandten Pro-
duktes oder der eingewandten Multiplikation, so folgt, dass das einge-
wandte Produkt zweier geltenden Werthe nur dann und immer dann ei-
nen geltenden, realen Werth liefert, wenn die Stufe des nächstumfas-
senden Systemes gleich der Beziehungszahl des Produktes ist. Wurde
die Stufenzahl des gemeinschaftlichen Systemes grösser als die Stufe
der eingewandten Multiplikation, so wurde das Produkt nach § 125
null, wurde sie kleiner, so erhielt das Produkt einen bloss formalen
Werth. Bleiben nun die Stufen beider Faktoren dieselben, so
wird, wenn die Stufe des gemeinschaftlichen Systemes wächst, die
des nächstumfassenden Systemes abnehmen und umgekehrt, weil
beide eine konstante Summe haben, nämlich die Stufensumme bei-
der Faktoren. Daraus folgt, dass ein eingewandtes Produkt zweier
geltender Werthe null wird, wenn die Stufe des sie zunächst um-
fassenden Systemes kleiner wird, als die Beziehungszahl; und einen
formalen Werth erhält, wenn sie grösser wird. Wenn also ein Sy-
stem von h-ter Stufe gegeben ist, und wir wissen, dass alle in Be-
tracht gezogenen Grössen diesem Systeme als Hauptsystem (s. § 80)
angehören, so sind wir auch sicher, dass das eingewandte Produkt,
dessen Beziehungszahl h ist, einen realen Werth haben werde. Wir
nennen dann diese eingewandte Multiplikation eine auf jenes Sy-
stem bezügliche, und nennen dies System das Beziehungs-

laufen parallel." Wird der Raum als nächstumfassendes System gedacht, so
haben wir die Sätze: "Zwei Ebenen, welche nicht zusammenfallen, schneiden
sich entweder in einer g. L., oder liegen einander parallel," "eine Linie, welche
nicht ganz in einer Ebene liegt, schneidet diese entweder in einem Punkte, oder
liegt mit ihr parallel," "zwei Ebenen, welche nicht parallel sind, haben eine
Richtung, aber auch nur Eine gemeinschaftlich."
Das eingewandte Produkt. § 127

§ 127. Es hatte nach § 125 ein eingewandtes Produkt zweier
geltenden Werthe dann und nur dann wiederum einen geltenden
realen Werth, wenn die Stufe des ihnen gemeinschaftlichen Sy-
stems gleich war der Stufe der eingewandten Multiplikation, oder
mit Anwendung des im vorigen Paragraphen bewiesenen Gesetzes,
wenn die Stufe des nächstumfassenden Systemes und die der ein-
gewandten Multiplikation zusammen gleich der Stufensumme beider
Faktoren sind. Nennen wir nun im Allgemeinen diejenige Zahl,
welche die Stufe der eingewandten Multiplikation zur Stufensumme
beider Faktoren ergänzt die Beziehungszahl des eingewandten Pro-
duktes oder der eingewandten Multiplikation, so folgt, dass das einge-
wandte Produkt zweier geltenden Werthe nur dann und immer dann ei-
nen geltenden, realen Werth liefert, wenn die Stufe des nächstumfas-
senden Systemes gleich der Beziehungszahl des Produktes ist. Wurde
die Stufenzahl des gemeinschaftlichen Systemes grösser als die Stufe
der eingewandten Multiplikation, so wurde das Produkt nach § 125
null, wurde sie kleiner, so erhielt das Produkt einen bloss formalen
Werth. Bleiben nun die Stufen beider Faktoren dieselben, so
wird, wenn die Stufe des gemeinschaftlichen Systemes wächst, die
des nächstumfassenden Systemes abnehmen und umgekehrt, weil
beide eine konstante Summe haben, nämlich die Stufensumme bei-
der Faktoren. Daraus folgt, dass ein eingewandtes Produkt zweier
geltender Werthe null wird, wenn die Stufe des sie zunächst um-
fassenden Systemes kleiner wird, als die Beziehungszahl; und einen
formalen Werth erhält, wenn sie grösser wird. Wenn also ein Sy-
stem von h-ter Stufe gegeben ist, und wir wissen, dass alle in Be-
tracht gezogenen Grössen diesem Systeme als Hauptsystem (s. § 80)
angehören, so sind wir auch sicher, dass das eingewandte Produkt,
dessen Beziehungszahl h ist, einen realen Werth haben werde. Wir
nennen dann diese eingewandte Multiplikation eine auf jenes Sy-
stem bezügliche, und nennen dies System das Beziehungs-

laufen parallel.“ Wird der Raum als nächstumfassendes System gedacht, so
haben wir die Sätze: „Zwei Ebenen, welche nicht zusammenfallen, schneiden
sich entweder in einer g. L., oder liegen einander parallel,“ „eine Linie, welche
nicht ganz in einer Ebene liegt, schneidet diese entweder in einem Punkte, oder
liegt mit ihr parallel,“ „zwei Ebenen, welche nicht parallel sind, haben eine
Richtung, aber auch nur Eine gemeinschaftlich.“
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[186/0222] Das eingewandte Produkt. § 127 § 127. Es hatte nach § 125 ein eingewandtes Produkt zweier geltenden Werthe dann und nur dann wiederum einen geltenden realen Werth, wenn die Stufe des ihnen gemeinschaftlichen Sy- stems gleich war der Stufe der eingewandten Multiplikation, oder mit Anwendung des im vorigen Paragraphen bewiesenen Gesetzes, wenn die Stufe des nächstumfassenden Systemes und die der ein- gewandten Multiplikation zusammen gleich der Stufensumme beider Faktoren sind. Nennen wir nun im Allgemeinen diejenige Zahl, welche die Stufe der eingewandten Multiplikation zur Stufensumme beider Faktoren ergänzt die Beziehungszahl des eingewandten Pro- duktes oder der eingewandten Multiplikation, so folgt, dass das einge- wandte Produkt zweier geltenden Werthe nur dann und immer dann ei- nen geltenden, realen Werth liefert, wenn die Stufe des nächstumfas- senden Systemes gleich der Beziehungszahl des Produktes ist. Wurde die Stufenzahl des gemeinschaftlichen Systemes grösser als die Stufe der eingewandten Multiplikation, so wurde das Produkt nach § 125 null, wurde sie kleiner, so erhielt das Produkt einen bloss formalen Werth. Bleiben nun die Stufen beider Faktoren dieselben, so wird, wenn die Stufe des gemeinschaftlichen Systemes wächst, die des nächstumfassenden Systemes abnehmen und umgekehrt, weil beide eine konstante Summe haben, nämlich die Stufensumme bei- der Faktoren. Daraus folgt, dass ein eingewandtes Produkt zweier geltender Werthe null wird, wenn die Stufe des sie zunächst um- fassenden Systemes kleiner wird, als die Beziehungszahl; und einen formalen Werth erhält, wenn sie grösser wird. Wenn also ein Sy- stem von h-ter Stufe gegeben ist, und wir wissen, dass alle in Be- tracht gezogenen Grössen diesem Systeme als Hauptsystem (s. § 80) angehören, so sind wir auch sicher, dass das eingewandte Produkt, dessen Beziehungszahl h ist, einen realen Werth haben werde. Wir nennen dann diese eingewandte Multiplikation eine auf jenes Sy- stem bezügliche, und nennen dies System das Beziehungs- *) *) laufen parallel.“ Wird der Raum als nächstumfassendes System gedacht, so haben wir die Sätze: „Zwei Ebenen, welche nicht zusammenfallen, schneiden sich entweder in einer g. L., oder liegen einander parallel,“ „eine Linie, welche nicht ganz in einer Ebene liegt, schneidet diese entweder in einem Punkte, oder liegt mit ihr parallel,“ „zwei Ebenen, welche nicht parallel sind, haben eine Richtung, aber auch nur Eine gemeinschaftlich.“

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 186. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/222>, abgerufen am 27.11.2024.