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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 112 Die Ausdehnung einer Elementargrösse.
[Formel 1] *);
wir nennen diesen Werth die Ausdehnung des Produktes a . b . g ....,
d. h. die Ausdehnung der Elemetargrösse. Es ist also
"die Ausdehnung einer starren Elementargrösse gleich ihrer
Ausweichung, dividirt durch die zu der Stufenzahl dieser Aus-
weichung gehörige Gefolgszahl."

Namentlich ist, indem wir voraussetzen, dass zwei Elemente
zwei Folgen zulassen, drei Elemente aber deren 6, die Ausdehnung
einer starren Elementargrösse dritter Stufe die Hälfte ihrer Aus-
weichung, und die Ausdehnung einer starren Elementargrösse vier-
ter Stufe der sechste Theil ihrer Ausweichung**); und nehmen wir
an, dass Ein Element nur Eine Anordnung zulasse, nämlich die,
dass es eben gesetzt wird, und wenn kein Element da ist, auch
Eine Anordnung möglich ist, nämlich die, dass eben kein Element
gesetzt wird, so folgt, dass für Elementargrössen erster und zwei-
ter Stufe Ausdehnung und Ausweichung einander gleich sind.

§ 112. Für die Elementargrössen erster Stufe ist die Aus-
weichung oder Ausdehnung eine Zahlengrösse, nämlich dieselbe,
die wir oben als ihr Gewicht bezeichneten. Es entsteht daher die
Aufgabe für Elementargrössen höherer Stufen die entsprechenden
Sätze abzuleiten, die wir für Elementargrössen erster Stufe in Be-
zug auf ihr Gewicht aufstellten. Zunächst ergiebt sich, "dass,
wenn die Glieder einer Gleichung dasselbe Element a als gemein-
schaftlichen Faktor enthalten, während der andere Faktor eines je-
den Gliedes eine Ausdehnung ist, man jenes Element a aus allen
Gliedern weglassen könne, ohne die Richtigkeit der Gleichung auf-
zuheben. Die Richtigkeit dieses Satzes erhellt, wenn man in der
vorausgesetzten Gleichung Ein Glied auf die linke Seite allein schafft,

*) Dass n! = 1.2.3...n sei, lehrt die Kombinationslehre; würden wir
dies voraussetzen, so würden wir den Werth des Eckgebildes erhalten [Formel 2]
**) Diese Resultate entsprechen den Sätzen der Geometrie, dass das Dreieck
die Hälfte ist des Parallelogramms von gleicher Grundseite und Höhe, und die
dreiseitige Pyramide der 6-te Theil des Spathes, dessen Kanten drei zusammen-
stossenden Kanten der Pyramide gleich sind.

§ 112 Die Ausdehnung einer Elementargrösse.
[Formel 1] *);
wir nennen diesen Werth die Ausdehnung des Produktes α . β . γ ....,
d. h. die Ausdehnung der Elemetargrösse. Es ist also
„die Ausdehnung einer starren Elementargrösse gleich ihrer
Ausweichung, dividirt durch die zu der Stufenzahl dieser Aus-
weichung gehörige Gefolgszahl.“

Namentlich ist, indem wir voraussetzen, dass zwei Elemente
zwei Folgen zulassen, drei Elemente aber deren 6, die Ausdehnung
einer starren Elementargrösse dritter Stufe die Hälfte ihrer Aus-
weichung, und die Ausdehnung einer starren Elementargrösse vier-
ter Stufe der sechste Theil ihrer Ausweichung**); und nehmen wir
an, dass Ein Element nur Eine Anordnung zulasse, nämlich die,
dass es eben gesetzt wird, und wenn kein Element da ist, auch
Eine Anordnung möglich ist, nämlich die, dass eben kein Element
gesetzt wird, so folgt, dass für Elementargrössen erster und zwei-
ter Stufe Ausdehnung und Ausweichung einander gleich sind.

§ 112. Für die Elementargrössen erster Stufe ist die Aus-
weichung oder Ausdehnung eine Zahlengrösse, nämlich dieselbe,
die wir oben als ihr Gewicht bezeichneten. Es entsteht daher die
Aufgabe für Elementargrössen höherer Stufen die entsprechenden
Sätze abzuleiten, die wir für Elementargrössen erster Stufe in Be-
zug auf ihr Gewicht aufstellten. Zunächst ergiebt sich, „dass,
wenn die Glieder einer Gleichung dasselbe Element α als gemein-
schaftlichen Faktor enthalten, während der andere Faktor eines je-
den Gliedes eine Ausdehnung ist, man jenes Element α aus allen
Gliedern weglassen könne, ohne die Richtigkeit der Gleichung auf-
zuheben. Die Richtigkeit dieses Satzes erhellt, wenn man in der
vorausgesetzten Gleichung Ein Glied auf die linke Seite allein schafft,

*) Dass n! = 1.2.3...n sei, lehrt die Kombinationslehre; würden wir
dies voraussetzen, so würden wir den Werth des Eckgebildes erhalten [Formel 2]
**) Diese Resultate entsprechen den Sätzen der Geometrie, dass das Dreieck
die Hälfte ist des Parallelogramms von gleicher Grundseite und Höhe, und die
dreiseitige Pyramide der 6-te Theil des Spathes, dessen Kanten drei zusammen-
stossenden Kanten der Pyramide gleich sind.
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[159/0195] § 112 Die Ausdehnung einer Elementargrösse. [FORMEL] *); wir nennen diesen Werth die Ausdehnung des Produktes α . β . γ ...., d. h. die Ausdehnung der Elemetargrösse. Es ist also „die Ausdehnung einer starren Elementargrösse gleich ihrer Ausweichung, dividirt durch die zu der Stufenzahl dieser Aus- weichung gehörige Gefolgszahl.“ Namentlich ist, indem wir voraussetzen, dass zwei Elemente zwei Folgen zulassen, drei Elemente aber deren 6, die Ausdehnung einer starren Elementargrösse dritter Stufe die Hälfte ihrer Aus- weichung, und die Ausdehnung einer starren Elementargrösse vier- ter Stufe der sechste Theil ihrer Ausweichung **); und nehmen wir an, dass Ein Element nur Eine Anordnung zulasse, nämlich die, dass es eben gesetzt wird, und wenn kein Element da ist, auch Eine Anordnung möglich ist, nämlich die, dass eben kein Element gesetzt wird, so folgt, dass für Elementargrössen erster und zwei- ter Stufe Ausdehnung und Ausweichung einander gleich sind. § 112. Für die Elementargrössen erster Stufe ist die Aus- weichung oder Ausdehnung eine Zahlengrösse, nämlich dieselbe, die wir oben als ihr Gewicht bezeichneten. Es entsteht daher die Aufgabe für Elementargrössen höherer Stufen die entsprechenden Sätze abzuleiten, die wir für Elementargrössen erster Stufe in Be- zug auf ihr Gewicht aufstellten. Zunächst ergiebt sich, „dass, wenn die Glieder einer Gleichung dasselbe Element α als gemein- schaftlichen Faktor enthalten, während der andere Faktor eines je- den Gliedes eine Ausdehnung ist, man jenes Element α aus allen Gliedern weglassen könne, ohne die Richtigkeit der Gleichung auf- zuheben. Die Richtigkeit dieses Satzes erhellt, wenn man in der vorausgesetzten Gleichung Ein Glied auf die linke Seite allein schafft, *) Dass n! = 1.2.3...n sei, lehrt die Kombinationslehre; würden wir dies voraussetzen, so würden wir den Werth des Eckgebildes erhalten [FORMEL] **) Diese Resultate entsprechen den Sätzen der Geometrie, dass das Dreieck die Hälfte ist des Parallelogramms von gleicher Grundseite und Höhe, und die dreiseitige Pyramide der 6-te Theil des Spathes, dessen Kanten drei zusammen- stossenden Kanten der Pyramide gleich sind.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 159. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/195>, abgerufen am 24.11.2024.