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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 109 Begriff eines Produktes v. Elementargrössen.
der Abschattung bezeichneten. -- Unsere Aufgabe bleibt daher ins
Besondere, unserm Begriffe die möglichste Anschaulichkeit zu ge-
ben, und seine konkrete Darstellung vor Augen zu legen.

§ 109. Die Hauptsache ist hier, auszumitteln, wann zwei Pro-
dukte einander gleichgesetzt werden können, indem dadurch der
Begriffsumfang der Grösse, welche das Produkt darstellt, bestimmt
wird. Da nun durch jene formellen Grundgesetze der Begriff des
Produktes vollkommen bestimmt sein soll, so haben wir zwei Pro-
dukte dann, aber auch nur dann, einander gleich zu setzen, wenn
sich vermittelst jener Grundgesetze (oder der daraus abgeleiteten)
das eine Produkt in das andere verwandeln lässt. Es sei daher ein
Produkt aus n Elementargrössen erster Stufe der Betrachtung un-
terworfen. Zunächst ist klar, dass wenn die Gewichte dieser n
Elementargrössen alle einzeln genommen null sind, also jede der-
selben als Ausdehnungsgrösse erster Stufe erscheint, auch ihr Pro-
dukt eine Ausdehnungsgrösse n-ter Stufe liefert. In jedem andern
Falle, und wenn auch nur Ein einfacher Faktor ein geltendes Ge-
wicht hat*), lässt sich jenes Produkt als Produkt eines Elementes
in eine Ausdehnungsgrösse (n--1)ter Stufe darstellen. Denn wir
können zuerst den Faktor, von welchem wir voraussetzen, dass sein
Gewicht nicht null sei, auf die erste Stelle bringen; sollte sich da-
bei das Vorzeichen des Produktes ändern, so können wir statt des-
sen das Zeichen irgend eines Faktors ändern. Ist nun aa jener
Faktor, dessen Gewicht a nicht null sein soll, so können wir nun
den übrigen Faktoren, wenn ihr Gewicht noch nicht null ist, ein
beliebiges Vielfaches von a als Stück hinzufügen, ohne den Werth
des Produktes zu ändern, und dadurch das Gewicht jedes der übri-
gen Faktoren auf null bringen. Nachdem dies geschehen ist, sind
also die übrigen (n--1) Faktoren Strecken geworden; ihr Produkt,
welches eine Ausdehnungsgrösse (n--1)ter Stufe ist, sei Q, so ist
die Elementargrösse gleich
aa . Q;
und dies wiederum, da a eine Zahlengrösse ist, gleich
a . aQ = a . P,
wenn aQ gleich P gesetzt wird. Es ist also die oben aufgestellte

*) d. h. ein solches, welches nicht null ist.

§ 109 Begriff eines Produktes v. Elementargrössen.
der Abschattung bezeichneten. — Unsere Aufgabe bleibt daher ins
Besondere, unserm Begriffe die möglichste Anschaulichkeit zu ge-
ben, und seine konkrete Darstellung vor Augen zu legen.

§ 109. Die Hauptsache ist hier, auszumitteln, wann zwei Pro-
dukte einander gleichgesetzt werden können, indem dadurch der
Begriffsumfang der Grösse, welche das Produkt darstellt, bestimmt
wird. Da nun durch jene formellen Grundgesetze der Begriff des
Produktes vollkommen bestimmt sein soll, so haben wir zwei Pro-
dukte dann, aber auch nur dann, einander gleich zu setzen, wenn
sich vermittelst jener Grundgesetze (oder der daraus abgeleiteten)
das eine Produkt in das andere verwandeln lässt. Es sei daher ein
Produkt aus n Elementargrössen erster Stufe der Betrachtung un-
terworfen. Zunächst ist klar, dass wenn die Gewichte dieser n
Elementargrössen alle einzeln genommen null sind, also jede der-
selben als Ausdehnungsgrösse erster Stufe erscheint, auch ihr Pro-
dukt eine Ausdehnungsgrösse n-ter Stufe liefert. In jedem andern
Falle, und wenn auch nur Ein einfacher Faktor ein geltendes Ge-
wicht hat*), lässt sich jenes Produkt als Produkt eines Elementes
in eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter Stufe darstellen. Denn wir
können zuerst den Faktor, von welchem wir voraussetzen, dass sein
Gewicht nicht null sei, auf die erste Stelle bringen; sollte sich da-
bei das Vorzeichen des Produktes ändern, so können wir statt des-
sen das Zeichen irgend eines Faktors ändern. Ist nun aα jener
Faktor, dessen Gewicht a nicht null sein soll, so können wir nun
den übrigen Faktoren, wenn ihr Gewicht noch nicht null ist, ein
beliebiges Vielfaches von α als Stück hinzufügen, ohne den Werth
des Produktes zu ändern, und dadurch das Gewicht jedes der übri-
gen Faktoren auf null bringen. Nachdem dies geschehen ist, sind
also die übrigen (n—1) Faktoren Strecken geworden; ihr Produkt,
welches eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter Stufe ist, sei Q, so ist
die Elementargrösse gleich
aα . Q;
und dies wiederum, da a eine Zahlengrösse ist, gleich
α . aQ = α . P,
wenn aQ gleich P gesetzt wird. Es ist also die oben aufgestellte

*) d. h. ein solches, welches nicht null ist.
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[151/0187] § 109 Begriff eines Produktes v. Elementargrössen. der Abschattung bezeichneten. — Unsere Aufgabe bleibt daher ins Besondere, unserm Begriffe die möglichste Anschaulichkeit zu ge- ben, und seine konkrete Darstellung vor Augen zu legen. § 109. Die Hauptsache ist hier, auszumitteln, wann zwei Pro- dukte einander gleichgesetzt werden können, indem dadurch der Begriffsumfang der Grösse, welche das Produkt darstellt, bestimmt wird. Da nun durch jene formellen Grundgesetze der Begriff des Produktes vollkommen bestimmt sein soll, so haben wir zwei Pro- dukte dann, aber auch nur dann, einander gleich zu setzen, wenn sich vermittelst jener Grundgesetze (oder der daraus abgeleiteten) das eine Produkt in das andere verwandeln lässt. Es sei daher ein Produkt aus n Elementargrössen erster Stufe der Betrachtung un- terworfen. Zunächst ist klar, dass wenn die Gewichte dieser n Elementargrössen alle einzeln genommen null sind, also jede der- selben als Ausdehnungsgrösse erster Stufe erscheint, auch ihr Pro- dukt eine Ausdehnungsgrösse n-ter Stufe liefert. In jedem andern Falle, und wenn auch nur Ein einfacher Faktor ein geltendes Ge- wicht hat *), lässt sich jenes Produkt als Produkt eines Elementes in eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter Stufe darstellen. Denn wir können zuerst den Faktor, von welchem wir voraussetzen, dass sein Gewicht nicht null sei, auf die erste Stelle bringen; sollte sich da- bei das Vorzeichen des Produktes ändern, so können wir statt des- sen das Zeichen irgend eines Faktors ändern. Ist nun aα jener Faktor, dessen Gewicht a nicht null sein soll, so können wir nun den übrigen Faktoren, wenn ihr Gewicht noch nicht null ist, ein beliebiges Vielfaches von α als Stück hinzufügen, ohne den Werth des Produktes zu ändern, und dadurch das Gewicht jedes der übri- gen Faktoren auf null bringen. Nachdem dies geschehen ist, sind also die übrigen (n—1) Faktoren Strecken geworden; ihr Produkt, welches eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter Stufe ist, sei Q, so ist die Elementargrösse gleich aα . Q; und dies wiederum, da a eine Zahlengrösse ist, gleich α . aQ = α . P, wenn aQ gleich P gesetzt wird. Es ist also die oben aufgestellte *) d. h. ein solches, welches nicht null ist.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 151. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/187>, abgerufen am 16.02.2025.