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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 94
von r bestimmt ist, und da wir aus der letzten Gleichung, welche
in der Auflösung vorkommt, durch das umgekehrte Verfahren
wieder die erste in Bezug auf jedes beliebige r ableiten können, so
haben wir zugleich den Satz, dass, wenn die Gleichung
[ra1] + [ra2] = [rb1] + [rb2]
für irgend einen Punkt r gilt, sie auch für jeden andern Punkt gilt,
der statt r eingeführt werden mag. Dieser Satz lässt sich direkt
ableiten, doch wollen wir ihn vorher verallgemeinern; denn es ist
klar, wie das angegebene Verfahren auch noch anwendbar bleibt,
wenn man statt der zwei Elemente a1, a2 und b1, b2 beliebig
viele, nur auf beiden Seiten eine gleiche Anzahl, einführt, ja, da
unter den Elementen beliebig viele zusammen fallen können, auch
dann noch, wenn zu den Strecken auf beiden Seiten beliebige Koef-
ficienten hinzutreten, sobald nur die Summe dieser Koefficienten
auf beiden Seiten dieselbe ist. In der That es sei
i1 [ra1] + ..... in [ran] = k1 [rb1] + .... km [rbm],
wo die Grössen i1 .... und k1 .... Zahlengrössen darstellen, und
es sei zugleich
i1 + .... in = k1 + .... km,
so können wir zeigen, dass die erste Gleichung auch fortbesteht
für jeden Punkt s, der statt r eingeführt wird. Denn es ist
[ra] = [rs] + [sa], [rb] = [rs] + [sb].
Führt man diese Ausdrücke in Bezug auf die betreffenden Zeiger
(1 ... n, 1 ... m) in die obige Gleichung ein, löst die Klammern auf
und fasst die Glieder, welche [rs] enthalten auf jeder Seite zu-
sammen, so erhält man auf jeder Seite [rs] multiplicirt mit der
Summe der Koefficienten, und da diese auf beiden Seiten gleich
ist, so hebt sich das so gewonnene Glied auf beiden Seiten auf,
und man behält
i1 [sa1] + .... in [san] = k1 [sb1] + .... km [sbm],
d. h. die Gleichung besteht fort in Bezug auf jedes Element, was
statt r eingeführt werden mag. Also:
"Wenn man von einem Elemente r Strecken nach beliebig
vielen festen Elementen zieht, und zwei beliebige Vielfachen-
summen derselben, deren Koefficienten aber gleiche Summe
haben, einander gleich sind, so besteht diese Gleichheit fort,
wie sich auch das Element r ändern mag."

Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 94
von ρ bestimmt ist, und da wir aus der letzten Gleichung, welche
in der Auflösung vorkommt, durch das umgekehrte Verfahren
wieder die erste in Bezug auf jedes beliebige ρ ableiten können, so
haben wir zugleich den Satz, dass, wenn die Gleichung
[ρα1] + [ρα2] = [ρβ1] + [ρβ2]
für irgend einen Punkt ρ gilt, sie auch für jeden andern Punkt gilt,
der statt ρ eingeführt werden mag. Dieser Satz lässt sich direkt
ableiten, doch wollen wir ihn vorher verallgemeinern; denn es ist
klar, wie das angegebene Verfahren auch noch anwendbar bleibt,
wenn man statt der zwei Elemente α1, α2 und β1, β2 beliebig
viele, nur auf beiden Seiten eine gleiche Anzahl, einführt, ja, da
unter den Elementen beliebig viele zusammen fallen können, auch
dann noch, wenn zu den Strecken auf beiden Seiten beliebige Koef-
ficienten hinzutreten, sobald nur die Summe dieser Koefficienten
auf beiden Seiten dieselbe ist. In der That es sei
i1 [ρα1] + ..... in [ραn] = k1 [ρβ1] + .... km [ρβm],
wo die Grössen i1 .... und k1 .... Zahlengrössen darstellen, und
es sei zugleich
i1 + .... in = k1 + .... km,
so können wir zeigen, dass die erste Gleichung auch fortbesteht
für jeden Punkt σ, der statt ρ eingeführt wird. Denn es ist
[ρα] = [ρσ] + [σα], [ρβ] = [ρσ] + [σβ].
Führt man diese Ausdrücke in Bezug auf die betreffenden Zeiger
(1 ... n, 1 ... m) in die obige Gleichung ein, löst die Klammern auf
und fasst die Glieder, welche [ρσ] enthalten auf jeder Seite zu-
sammen, so erhält man auf jeder Seite [ρσ] multiplicirt mit der
Summe der Koefficienten, und da diese auf beiden Seiten gleich
ist, so hebt sich das so gewonnene Glied auf beiden Seiten auf,
und man behält
i1 [σα1] + .... in [σαn] = k1 [σβ1] + .... km [σβm],
d. h. die Gleichung besteht fort in Bezug auf jedes Element, was
statt ρ eingeführt werden mag. Also:
„Wenn man von einem Elemente ρ Strecken nach beliebig
vielen festen Elementen zieht, und zwei beliebige Vielfachen-
summen derselben, deren Koefficienten aber gleiche Summe
haben, einander gleich sind, so besteht diese Gleichheit fort,
wie sich auch das Element ρ ändern mag.“

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[132/0168] Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 94 von ρ bestimmt ist, und da wir aus der letzten Gleichung, welche in der Auflösung vorkommt, durch das umgekehrte Verfahren wieder die erste in Bezug auf jedes beliebige ρ ableiten können, so haben wir zugleich den Satz, dass, wenn die Gleichung [ρα1] + [ρα2] = [ρβ1] + [ρβ2] für irgend einen Punkt ρ gilt, sie auch für jeden andern Punkt gilt, der statt ρ eingeführt werden mag. Dieser Satz lässt sich direkt ableiten, doch wollen wir ihn vorher verallgemeinern; denn es ist klar, wie das angegebene Verfahren auch noch anwendbar bleibt, wenn man statt der zwei Elemente α1, α2 und β1, β2 beliebig viele, nur auf beiden Seiten eine gleiche Anzahl, einführt, ja, da unter den Elementen beliebig viele zusammen fallen können, auch dann noch, wenn zu den Strecken auf beiden Seiten beliebige Koef- ficienten hinzutreten, sobald nur die Summe dieser Koefficienten auf beiden Seiten dieselbe ist. In der That es sei i1 [ρα1] + ..... in [ραn] = k1 [ρβ1] + .... km [ρβm], wo die Grössen i1 .... und k1 .... Zahlengrössen darstellen, und es sei zugleich i1 + .... in = k1 + .... km, so können wir zeigen, dass die erste Gleichung auch fortbesteht für jeden Punkt σ, der statt ρ eingeführt wird. Denn es ist [ρα] = [ρσ] + [σα], [ρβ] = [ρσ] + [σβ]. Führt man diese Ausdrücke in Bezug auf die betreffenden Zeiger (1 ... n, 1 ... m) in die obige Gleichung ein, löst die Klammern auf und fasst die Glieder, welche [ρσ] enthalten auf jeder Seite zu- sammen, so erhält man auf jeder Seite [ρσ] multiplicirt mit der Summe der Koefficienten, und da diese auf beiden Seiten gleich ist, so hebt sich das so gewonnene Glied auf beiden Seiten auf, und man behält i1 [σα1] + .... in [σαn] = k1 [σβ1] + .... km [σβm], d. h. die Gleichung besteht fort in Bezug auf jedes Element, was statt ρ eingeführt werden mag. Also: „Wenn man von einem Elemente ρ Strecken nach beliebig vielen festen Elementen zieht, und zwei beliebige Vielfachen- summen derselben, deren Koefficienten aber gleiche Summe haben, einander gleich sind, so besteht diese Gleichheit fort, wie sich auch das Element ρ ändern mag.“

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 132. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/168>, abgerufen am 22.11.2024.