Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Gleichungen. — Projektion. § 92

einem Punkte der Kurve oder Oberfläche gezogen ist, eine Glei-
chung aufgestellt wird. Es sei p = xa + yb + zc diese Strecke, und
f (x, y, z) = 0
die Gleichung, welche eine Oberfläche bestimmt; sucht man nun
die Gleichung derselben Oberfläche zunächst für denselben An-
fangspunkt der Koordinaten, aber in Bezug auf neue Richtaxen und
auf die ihnen zugehörigen Richtmasse, e₁, e₂, e₃, so hat man, wenn
p = u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃ ist, die Gleichung
[Formel 1] eine Gleichung, welche, wenn man statt p seinen Werth substituirt,
als Gleichung zwischen den neuen Variabeln u₁, u₂, u₃ erscheint.
Will man auch den Anfangspunkt der Koordinaten etwa um die
Strecke e verlegen, so hat man nun, wenn q die Strecke ist, von
dem neuen Anfangspunkt nach demselben Punkte der Oberfläche,
nach welchem der entsprechende Werth von p gerichtet, und
q = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃
ist, nur in der obigen Gleichung statt p seinen Werth q + e einzu-
führen, um die verlangte Gleichung zu erhalten, oder ist e =
αa + βb + γc, so hat man, wie sich sogleich ergiebt,
[Formel 2] als die verlangte Gleichung zwischen den neuen Variabeln v₁, v₂,
v₃. Will man diese Gleichung als blosse Zahlengleichung darstel-
len, so hat man nur die neuen Grundmasse auf bestimmte Weise
als Vielfachensummen der ursprünglichen darzustellen und in die
Gleichung einzuführen. Es sei
e₁ = α₁a + β₁b + γ₁c
e₂ = α₂a + β₂b + γ₂c
e₃ = α₃a + β₃b + γ₃c,
so zeigt sich unmittelbar, wie sich die verlangte Gleichung dar-
stellt in der Form
f (α + α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃, β + β₁v₁ + β₂v₂ + β₃v₃,
γ + γ₁v₁ + γ₂v₂ + γ₃v₃) = 0,
eine Gleichung, welche an Einfachheit nichts zu wünschen übrig