Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.Gleichungen. -- Projektion. § 82 A = 0,in welcher A ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet, durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue Gleichung A . L = 0 abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er- steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur A = in welcher nach dem vorigen Kapitel Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung A = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist, dass A keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe A gedacht ist, einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. "wenn die Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern weglassen." § 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden, Gleichungen. — Projektion. § 82 A = 0,in welcher A ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet, durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue Gleichung A . L = 0 abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er- steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur A = in welcher nach dem vorigen Kapitel Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung A = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist, dass A keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe A gedacht ist, einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. „wenn die Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern weglassen.“ § 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden, <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0152" n="116"/><fw place="top" type="header">Gleichungen. — Projektion. § 82</fw><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = 0,</hi><lb/> in welcher <hi rendition="#i">A</hi> ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet,<lb/> durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue<lb/> Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> . L = 0</hi><lb/> abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten<lb/> Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er-<lb/> steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = <formula notation="TeX">\frac {0}{L}</formula>,</hi><lb/> in welcher nach dem vorigen Kapitel <formula notation="TeX">\frac {0}{L}</formula> jede von L abhängige<lb/> Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung<lb/><hi rendition="#i">A</hi> = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist,<lb/> dass <hi rendition="#i">A</hi> keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit<lb/> andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe <hi rendition="#i">A</hi> gedacht ist,<lb/> einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. „wenn die<lb/> Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf<lb/> derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller<lb/> Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen<lb/> Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern<lb/> weglassen.“</p><lb/> <p>§ 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden<lb/> vorigen Paragraphen gelangen wir nun zu einem Verfahren, um aus<lb/> einer Gleichung andere Gleichungen derselben Stufe abzuleiten.<lb/> In der That ist<lb/><hi rendition="#c">A + B + .... = 0</hi><lb/> die ursprüngliche Gleichung, so erhalten wir durch Multiplikation<lb/> mit L (nach § 80) die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">A . L + B . L + ... = 0.</hi></p><lb/> <p>Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden,<lb/> um den Faktor L wegzuschaffen, so müssen wir die Glieder dieser<lb/> Gleichung in solcher Form darstellen, dass die Faktoren, mit wel-<lb/> chen L multiplicirt ist, ins Gesammt einem von L unabhängigen<lb/> Systeme angehören. Es sei G ein solches System und A′, B′ ....<lb/> seien Ausdehnungen, welche diesem System angehören, und die Be-<lb/> schaffenheit haben, dass<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [116/0152]
Gleichungen. — Projektion. § 82
A = 0,
in welcher A ein Aggregat von beliebig vielen Gliedern bedeutet,
durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue
Gleichung
A . L = 0
abgeleitet hat; so folgt nun, wenn nur die Richtigkeit der letzten
Gleichung gegeben ist, keinesweges daraus die Richtigkeit der er-
steren; vielmehr folgt aus jener letzten nur
A = [FORMEL],
in welcher nach dem vorigen Kapitel [FORMEL] jede von L abhängige
Grösse, die Null mit einschlossen, darstellt. Die Gleichung
A = 0 wird sich daher nur dann ergeben, wenn vorausgesetzt ist,
dass A keinen von L abhängigen geltenden Werth habe, oder mit
andern Worten, wenn die Glieder, als deren Summe A gedacht ist,
einem von L unabhängigen Systeme angehören; d. h. „wenn die
Glieder einer Gleichung alle einen gemeinschaftlichen Faktor L auf
derselben Stelle haben, und die sämmtlichen übrigen Faktoren aller
Glieder einem von diesem gemeinschaftlichen Faktor unabhängigen
Systeme angehören, so kann man den Faktor L in allen Gliedern
weglassen.“
§ 82. Durch Verknüpfung der Verfahrungsarten der beiden
vorigen Paragraphen gelangen wir nun zu einem Verfahren, um aus
einer Gleichung andere Gleichungen derselben Stufe abzuleiten.
In der That ist
A + B + .... = 0
die ursprüngliche Gleichung, so erhalten wir durch Multiplikation
mit L (nach § 80) die Gleichung
A . L + B . L + ... = 0.
Wollen wir nun hierauf das Verfahren von § 81 anwenden,
um den Faktor L wegzuschaffen, so müssen wir die Glieder dieser
Gleichung in solcher Form darstellen, dass die Faktoren, mit wel-
chen L multiplicirt ist, ins Gesammt einem von L unabhängigen
Systeme angehören. Es sei G ein solches System und A′, B′ ....
seien Ausdehnungen, welche diesem System angehören, und die Be-
schaffenheit haben, dass
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 116. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/152>, abgerufen am 15.08.2024. |