Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 73

von C abhängig ist, dieselbe Gleichung für jeden Werth von C fort-
besteht, und darin liegt die Berechtigung in diesem Falle α + β
gleich γ zu setzen. Also wir setzen
α + β = γ,
wenn
α C + β C = γ C
ist, wo C irgend eine Ausdehnung bezeichnet, d. h. nach der De-
finition ist
„α C + β C = (α + β) C“

Um nun diese Verknüpfung als wahre Addition nachzuweisen,
haben wir die Geltung der additiven Grundgesetze und der addi-
tiven Beziehung zur Multiplikation darzuthun. Zuerst liegt die
Vertauschbarkeit der Stücke direkt in der Definition, da auch die
Stücke αC und βC vertauschbar sind. Um die Vereinbarkeit der
Stücke nachzuweisen gehen wir darauf zurück, dass
(α C + β C) + γ C = α C + (β C + γ C)
ist; diese Gleichung verwandelt sich, wenn man das in der Defini-
tion dargelegte Gesetz auf jeder Seite zweimal anwendet, in
[(α + β) + γ] C = [α + (β + γ)] C,
woraus folgt
(α + β) + γ = α + (β + γ).

Endlich ist auch das Resultat der Subtraktion eindeutig. Denn
wird der Werth von β in der Gleichung
α + β = γ
gesucht, so erhalten wir, wenn α = $\frac {a_1}{a}$, β = $\frac {a_2}{a}$, γ = $\frac {a_3}{a}$ gesetzt
wird, nach dem obigen die Gleichung
a₁ + a₂ = a₃,
oder
a₂ = a₃ — a₁.

Also hat a₂ einen bestimmten Werth, also auch $\frac {a_2}{a}$ oder β, d.
h. γ — α hat nur Einen Werth, das Resultat der Subtraktion ist
eindeutig. Da somit die Grundgesetze der Addition und Subtrak-
tion gelten, so gelten auch alle Gesetze derselben.

§ 73. Es bleibt uns nur noch übrig, die Beziehung dieser
Addition zur Multiplikation darzustellen, und zu zeigen, dass