Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 55

sie von einander abhängig sind, d. h. von einem Systeme niederer
Stufe als der n-ten umfasst werden. Dies können wir unmittelbar
auf Faktoren beliebiger Stufen ausdehnen, wenn wir mehrere Aus-
dehnungen dann von einander abhängig setzen, wenn die Summe
ihrer Stufenzahlen grösser ist als die des Systems, welches sie alle
umfasst; denn dann wird die Anzahl der einfachen Faktoren, wel-
che ihr Produkt enthält, grösser sein als die Stufenzahl des umfas-
senden Systems, also ihr Produkt in der That null sein. Also:

„Das äussere Produkt ist null, wenn die Faktoren von einan-
der abhängig sind, und hat einen geltenden Werth, wenn sie
es nicht sind.“

Aus der Eigenthümlichkeit des äusseren Produktes ergab sich
uns (§ 35), dass zwei einfache Faktoren vertauscht werden dürfen,
wenn man zugleich das Vorzeichen des Produktes ändert; dies Ge-
setz erweiterten wir dahin, dass ein einfacher Faktor eine gerade
Anzahl von einfachen Faktoren ohne, eine ungerade mit Zeichen-
wechsel überspringen dürfe. Da eine Reihe von einfachen Fakto-
ren als Ausdehnung erschien, deren Stufenzahl der Anzahl jener
einfachen Faktoren gleich ist, so folgt daraus zuerst, dass eine Aus-
dehnung von gerader Stufe einen einfachen Faktor, also auch jeden
andern, ohne Zeichenwechsel überspringen dürfe, und wiederum,
dass bei Vertauschung zweier beliebiger auf einanderfolgender Fak-
toren dann und nur dann Zeichenwechsel eintrete, wenn beide von
ungerader Stufe sind. ^*) Dass nun dies Gesetz auch noch für Sum-

*) Es lässt sich dies, wenn a und b die beziehlichen Stufenzahlen der Aus-
dehnungen A und B sind, so ausdrücken, dass A . B = (—1) ^a+b B. A sei. —
Wenn beide Faktoren noch durch einen dritten Faktor getrennt sind, so hängt bei
der Vertauschung das Zeichen noch von diesem ab. So hat man z. B.
[Formel 1] Für die formelle Auffassung der äusseren Multiplikation bemerke ich noch, dass
man ihre Eigenthümlichkeit, wenn einmal die multiplikative Beziehung zur Addi-
tion festgestellt ist, auch durch das Gesetz, dass zwei einfache Faktoren mit Zei-
chenwechsel vertauschbar seien, vollkommen hätte charakterisiren können. Denn
ist a . b allgemein gleich — b . a, oder
[Formel 2] so muss dies auch noch gelten, wenn b = a wird, dann ist a . a + a . a = 0, also
2a . a = 0 oder a . a = 0. Daraus folgt dann, dass überhaupt das Produkt zweie