Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 50 Geltung der Additionsgesetze für die neue Summe. führen auf D.(b + a).c; man kann nämlich zuerst in beiden Sum-manden c auf die letzte Stelle bringen, wobei die Vorzeichen sich ändern, dann kann man nach der Definition die Summation vor- nehmen, und endlich mit derselben Zeichenänderung den summirten Faktor wieder auf die alte Stelle bringen und erhält [Formel 1] Um nun diese beiden Glieder summiren zu können, hat man nur statt D.a.b1 zu setzen D.(b + a).b1, was verstattet ist, weil b mit b1 gleichartig ist, und man den Faktoren, ohne das Resultat zu ändern, Stücke hinzufügen darf, welche den andern Faktoren gleichartig sind (§ 34). Führt man dann auf der rechten Seite die Summation aus, so hat man [Formel 2] , wodurch man die drei Glieder auf eins zurückgeführt hat *). In diesem Gliede kann man nun zuerst die Summe b + a wieder auf- lösen und erhält auf der rechten Seite den Ausdruck [Formel 3] . In dem ersten Gliede dieses Ausdrucks kann nun wieder (§ 34) das Stück b1 weggelassen und das zweite Glied aufgelösst werden, dadurch verwandelt sich der ganze Ausdruck in D.b.c + (D.a.c + D.a.b1), d. h. in A + (B + C) und man hat also in der That [Formel 4] § 50. Es ist nun noch das dritte Grundgesetz (§ 6) zu er- *) Man könnte nun zeigen, dass der Ausdruck: A + (B + C) sich auf das-
selbe Glied zurückführen liesse, allein wir setzen den einmal eingeschlagenen Weg der fortschreitenden Umwandlung fort. § 50 Geltung der Additionsgesetze für die neue Summe. führen auf D.(b + a).c; man kann nämlich zuerst in beiden Sum-manden c auf die letzte Stelle bringen, wobei die Vorzeichen sich ändern, dann kann man nach der Definition die Summation vor- nehmen, und endlich mit derselben Zeichenänderung den summirten Faktor wieder auf die alte Stelle bringen und erhält [Formel 1] Um nun diese beiden Glieder summiren zu können, hat man nur statt D.a.b1 zu setzen D.(b + a).b1, was verstattet ist, weil b mit b1 gleichartig ist, und man den Faktoren, ohne das Resultat zu ändern, Stücke hinzufügen darf, welche den andern Faktoren gleichartig sind (§ 34). Führt man dann auf der rechten Seite die Summation aus, so hat man [Formel 2] , wodurch man die drei Glieder auf eins zurückgeführt hat *). In diesem Gliede kann man nun zuerst die Summe b + a wieder auf- lösen und erhält auf der rechten Seite den Ausdruck [Formel 3] . In dem ersten Gliede dieses Ausdrucks kann nun wieder (§ 34) das Stück b1 weggelassen und das zweite Glied aufgelösst werden, dadurch verwandelt sich der ganze Ausdruck in D.b.c + (D.a.c + D.a.b1), d. h. in A + (B + C) und man hat also in der That [Formel 4] § 50. Es ist nun noch das dritte Grundgesetz (§ 6) zu er- *) Man könnte nun zeigen, dass der Ausdruck: A + (B + C) sich auf das-
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§ 50 Geltung der Additionsgesetze für die neue Summe.
führen auf D.(b + a).c; man kann nämlich zuerst in beiden Sum-
manden c auf die letzte Stelle bringen, wobei die Vorzeichen sich
ändern, dann kann man nach der Definition die Summation vor-
nehmen, und endlich mit derselben Zeichenänderung den summirten
Faktor wieder auf die alte Stelle bringen und erhält
[FORMEL] Um nun diese beiden Glieder summiren zu können, hat man nur
statt D.a.b1 zu setzen D.(b + a).b1, was verstattet ist, weil b
mit b1 gleichartig ist, und man den Faktoren, ohne das Resultat
zu ändern, Stücke hinzufügen darf, welche den andern Faktoren
gleichartig sind (§ 34). Führt man dann auf der rechten Seite die
Summation aus, so hat man
[FORMEL],
wodurch man die drei Glieder auf eins zurückgeführt hat *). In
diesem Gliede kann man nun zuerst die Summe b + a wieder auf-
lösen und erhält auf der rechten Seite den Ausdruck
[FORMEL].
In dem ersten Gliede dieses Ausdrucks kann nun wieder (§ 34)
das Stück b1 weggelassen und das zweite Glied aufgelösst werden,
dadurch verwandelt sich der ganze Ausdruck in D.b.c + (D.a.c
+ D.a.b1), d. h. in A + (B + C) und man hat also in der That
[FORMEL]
§ 50. Es ist nun noch das dritte Grundgesetz (§ 6) zu er-
weisen, das nämlich das Resultat der Subtraktion eindeutig ist,
oder dass, wenn das eine Stück unverändert bleibt, das andere
aber sich ändert, auch die Summe sich ändern müsse. Es sei in-
nerhalb eines Systems (n + 1) ter Stufe
[FORMEL],
wo A, B und C von n-ter Stufe sind. Es ändere sich B in B+D,
so wird nun
[FORMEL] sein, und es ist zu zeigen, dass wenn B + D von B verschieden
ist, auch C + D von C verschieden sein müsse. Das erstere setzt
*) Man könnte nun zeigen, dass der Ausdruck: A + (B + C) sich auf das-
selbe Glied zurückführen liesse, allein wir setzen den einmal eingeschlagenen
Weg der fortschreitenden Umwandlung fort.
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