Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.§ 49 Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst höherer St. ten, welcher von den sämmtlichen Strecken a1 .... an unabhängigist; es sei an+1 ein solcher Faktor, und also [Formel 1] Da in einem System (n+1) ter Stufe nicht mehr als (n+1) von einander unabhängige Strecken angenommen werden können, so muss jeder von den Faktoren b1 .... bn--1 von jenen Strecken a1 .... an+1 abhängig sein, d. h. sich als Summe darstellen las- sen, deren Stücke diesen Strecken gleichartig sind. Denkt man sich nun jeden dieser Faktoren b1 ... bn--1 als solche Summe dar- gestellt, so kann man nun in jeder dasjenige Stück, was mit an+1 gleichartig ist, weglassen, ohne den Werth des Produktes Bn zu ändern (vergl. § 35). Nach dieser Weglassung sei das Produkt b1.b2 ....bn--1 übergegangen in Cm--1, so ist also [Formel 2] Die Faktoren von Cn--1 sind nur noch von den Strecken a1 ....an, d. h. von den Faktoren der Ausdehnungsgrösse An abhängig; oder mit andern Worten, sie gehören dem Systeme An an, folglich wird sich An nach der im Anfang dieses § angewandten Schlussfolge auf den Faktor Cn--1 bringen lassen, wenn der n-te Faktor willkühr- lich gewählt werden darf; somit lassen sich beide Ausdehnungs- grössen An und Bn auf den gemeinschaftlichen Faktor Cn--1 brin- gen, welcher von (n--1) ter Stufe ist oder, wie wir uns auch kürzer ausdrücken, beide haben eine Ausdehnungsgrösse (n--1)ter Stufe gemeinschaftlich. So wird nun die obige Definition so um- gewandelt werden können: "Zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe, welche demselben § 49. Um nun die Geltung der Additionsgesetze, oder viel- § 49 Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst höherer St. ten, welcher von den sämmtlichen Strecken a1 .... an unabhängigist; es sei an+1 ein solcher Faktor, und also [Formel 1] Da in einem System (n+1) ter Stufe nicht mehr als (n+1) von einander unabhängige Strecken angenommen werden können, so muss jeder von den Faktoren b1 .... bn—1 von jenen Strecken a1 .... an+1 abhängig sein, d. h. sich als Summe darstellen las- sen, deren Stücke diesen Strecken gleichartig sind. Denkt man sich nun jeden dieser Faktoren b1 ... bn—1 als solche Summe dar- gestellt, so kann man nun in jeder dasjenige Stück, was mit an+1 gleichartig ist, weglassen, ohne den Werth des Produktes Bn zu ändern (vergl. § 35). Nach dieser Weglassung sei das Produkt b1.b2 ....bn—1 übergegangen in Cm—1, so ist also [Formel 2] Die Faktoren von Cn—1 sind nur noch von den Strecken a1 ....an, d. h. von den Faktoren der Ausdehnungsgrösse An abhängig; oder mit andern Worten, sie gehören dem Systeme An an, folglich wird sich An nach der im Anfang dieses § angewandten Schlussfolge auf den Faktor Cn—1 bringen lassen, wenn der n-te Faktor willkühr- lich gewählt werden darf; somit lassen sich beide Ausdehnungs- grössen An und Bn auf den gemeinschaftlichen Faktor Cn—1 brin- gen, welcher von (n—1) ter Stufe ist oder, wie wir uns auch kürzer ausdrücken, beide haben eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter Stufe gemeinschaftlich. So wird nun die obige Definition so um- gewandelt werden können: „Zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe, welche demselben § 49. 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§ 49 Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst höherer St.
ten, welcher von den sämmtlichen Strecken a1 .... an unabhängig
ist; es sei an+1 ein solcher Faktor, und also
[FORMEL] Da in einem System (n+1) ter Stufe nicht mehr als (n+1) von
einander unabhängige Strecken angenommen werden können, so
muss jeder von den Faktoren b1 .... bn—1 von jenen Strecken
a1 .... an+1 abhängig sein, d. h. sich als Summe darstellen las-
sen, deren Stücke diesen Strecken gleichartig sind. Denkt man
sich nun jeden dieser Faktoren b1 ... bn—1 als solche Summe dar-
gestellt, so kann man nun in jeder dasjenige Stück, was mit an+1
gleichartig ist, weglassen, ohne den Werth des Produktes Bn zu
ändern (vergl. § 35). Nach dieser Weglassung sei das Produkt
b1.b2 ....bn—1 übergegangen in Cm—1, so ist also
[FORMEL] Die Faktoren von Cn—1 sind nur noch von den Strecken a1 ....an,
d. h. von den Faktoren der Ausdehnungsgrösse An abhängig; oder
mit andern Worten, sie gehören dem Systeme An an, folglich wird
sich An nach der im Anfang dieses § angewandten Schlussfolge auf
den Faktor Cn—1 bringen lassen, wenn der n-te Faktor willkühr-
lich gewählt werden darf; somit lassen sich beide Ausdehnungs-
grössen An und Bn auf den gemeinschaftlichen Faktor Cn—1 brin-
gen, welcher von (n—1) ter Stufe ist oder, wie wir uns auch
kürzer ausdrücken, beide haben eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter
Stufe gemeinschaftlich. So wird nun die obige Definition so um-
gewandelt werden können:
„Zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe, welche demselben
System (n+1) ter Stufe angehören, werden addirt, indem man
sie auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe
bringt, und die Summe der ungleichen Faktoren mit diesem
gemeinschaftlichen Faktor verknüpft.
§ 49. Um nun die Geltung der Additionsgesetze, oder viel-
mehr zunächst nur die der Grundgesetze nachzuweisen, haben wir
zuerst die Vertauschbarkeit der Stücke darzuthun. Diese Stücke
werden sich nach dem vorigen § darstellen lassen in der Form
A. b und A. c. Nun ist
[FORMEL],
also sind die Stücke vertauschbar. Das zweite Gesetz, dessen
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 75. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/111>, abgerufen am 02.09.2024. |