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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Krummzapfen mit mehreren Lasten.
die Bewegung von n Lasten Q, Q' . . . . an einem Krummzapfen
K . A . ph = Q . a (1--Cosph) + Q' . a [Formel 1] .

Q'' . d v'' . Sin [Formel 2] = 2 g . d t [Formel 3]
. . . . . . . . . . . . . .
R . d V · [Formel 4] = 2 g . d t [Formel 5] . Werden diese Gleichungen addirt, so ist:
Q . d v . Sin ph + Q' . d v' . Sin [Formel 6] + Q'' . d v'' . Sin [Formel 7] .... + R . d V · [Formel 8]
= 2 g . d t [Formel 9] .
Diese Gleichung lässt sich, so wie sie vorliegt, nicht integriren, indem sie die veränderlichen
Grössen ph, t, v, v', v'' .... V enthält. Die erste Last Q ist aber von der Lothrechten durch den
Mittelpunkt um den Winkel ph entfernt, der beschriebene Bogen während der Zeit t ist also = a . ph
und sein Differenziale = a . d ph, folglich die Höhe, auf welche die Last Q während der Zeit d t
stieg, d s = a . d ph . Sin ph und daher die Geschwindigkeit der Last Q oder v = [Formel 10] ,
woraus [Formel 11] . Eben so ist für die zweite Last d s' = a . d ph . Sin [Formel 12] und
v' = [Formel 13] , woraus [Formel 14] . Auf gleiche Art erhalten
wir für die dritte Last v'' = [Formel 15] . Sin [Formel 16] , woraus [Formel 17] u. s. w.
Endlich für das Schwungrad V = [Formel 18] und [Formel 19] . Multiplizirt man nun die
einzelnen Glieder der obigen Gleichung einerseits mit [Formel 20] , [Formel 21] und ander-
seits mit [Formel 22] , so ist Q . 2 v . d v + Q' . 2 v' . d v' + Q'' . 2 v'' . d v'' .... + R . 2 V . d V
= 4 g [Formel 23] .
Nunmehr lässt sich diese Gleichung integriren, und es wird Q . v2 + Q' . (v')2 + Q'' . (v'')2 ... + R . V2
= 4 g [Formel 24] + Const.
Die beständige Grösse wird aus dem Anfange der Bewegung bestimmt, wo nämlich die Kurbeln noch
nicht weiter gerückt sind, oder wo ph = 0 ist. Da die Geschwindigkeiten v, v', v'' .... jene waren,
womit die Lasten Q, Q', Q'' .... senkrecht hinaufsteigen, so sey auch bei dem Anfange der
Bewegung, w die senkrechte Geschwindigkeit der Last Q, w' die senkrechte Geschwindigkeit der
Last Q', .... endlich W die Geschwindigkeit des Schwungrades R. Wir erhalten sonach für den
Anfang der Bewegung, wo ph = 0 ist, die Gleichung Q . w2 + Q' . (w')2 + Q'' . (w'')2 .... + R . W2
= 4 g [Formel 25] + Const.
Subtrahirt man diese Gleichung von der obern, so ist
Q [Formel 26]
= K . A . ph -- Q . a (1 -- Cosph) -- Q' . a [Formel 27] -- ...

Krummzapfen mit mehreren Lasten.
die Bewegung von n Lasten Q, Q' . . . . an einem Krummzapfen
K . A . φ = Q . a (1—Cosφ) + Q' . a [Formel 1] .

Q'' . d v'' . Sin [Formel 2] = 2 g . d t [Formel 3]
. . . . . . . . . . . . . .
R . d V · [Formel 4] = 2 g . d t [Formel 5] . Werden diese Gleichungen addirt, so ist:
Q . d v . Sin φ + Q' . d v' . Sin [Formel 6] + Q'' . d v'' . Sin [Formel 7] .... + R . d V · [Formel 8]
= 2 g . d t [Formel 9] .
Diese Gleichung lässt sich, so wie sie vorliegt, nicht integriren, indem sie die veränderlichen
Grössen φ, t, v, v', v'' .... V enthält. Die erste Last Q ist aber von der Lothrechten durch den
Mittelpunkt um den Winkel φ entfernt, der beschriebene Bogen während der Zeit t ist also = a . φ
und sein Differenziale = a . d φ, folglich die Höhe, auf welche die Last Q während der Zeit d t
stieg, d s = a . d φ . Sin φ und daher die Geschwindigkeit der Last Q oder v = [Formel 10] ,
woraus [Formel 11] . Eben so ist für die zweite Last d s' = a . d φ . Sin [Formel 12] und
v' = [Formel 13] , woraus [Formel 14] . Auf gleiche Art erhalten
wir für die dritte Last v'' = [Formel 15] . Sin [Formel 16] , woraus [Formel 17] u. s. w.
Endlich für das Schwungrad V = [Formel 18] und [Formel 19] . Multiplizirt man nun die
einzelnen Glieder der obigen Gleichung einerseits mit [Formel 20] , [Formel 21] und ander-
seits mit [Formel 22] , so ist Q . 2 v . d v + Q' . 2 v' . d v' + Q'' . 2 v'' . d v'' .... + R . 2 V . d V
= 4 g [Formel 23] .
Nunmehr lässt sich diese Gleichung integriren, und es wird Q . v2 + Q' . (v')2 + Q'' . (v'')2 … + R . V2
= 4 g [Formel 24] + Const.
Die beständige Grösse wird aus dem Anfange der Bewegung bestimmt, wo nämlich die Kurbeln noch
nicht weiter gerückt sind, oder wo φ = 0 ist. Da die Geschwindigkeiten v, v', v'' .... jene waren,
womit die Lasten Q, Q', Q'' .... senkrecht hinaufsteigen, so sey auch bei dem Anfange der
Bewegung, w die senkrechte Geschwindigkeit der Last Q, w' die senkrechte Geschwindigkeit der
Last Q', .... endlich W die Geschwindigkeit des Schwungrades R. Wir erhalten sonach für den
Anfang der Bewegung, wo φ = 0 ist, die Gleichung Q . w2 + Q' . (w')2 + Q'' . (w'')2 .... + R . W2
= 4 g [Formel 25] + Const.
Subtrahirt man diese Gleichung von der obern, so ist
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[322/0358] Krummzapfen mit mehreren Lasten. die Bewegung von n Lasten Q, Q' . . . . an einem Krummzapfen K . A . φ = Q . a (1—Cosφ) + Q' . a [FORMEL]. *) *) Q'' . d v'' . Sin [FORMEL] = 2 g . d t [FORMEL] . . . . . . . . . . . . . . R . d V · [FORMEL] = 2 g . d t [FORMEL]. Werden diese Gleichungen addirt, so ist: Q . d v . Sin φ + Q' . d v' . Sin [FORMEL] + Q'' . d v'' . Sin [FORMEL] .... + R . d V · [FORMEL] = 2 g . d t [FORMEL]. Diese Gleichung lässt sich, so wie sie vorliegt, nicht integriren, indem sie die veränderlichen Grössen φ, t, v, v', v'' .... V enthält. Die erste Last Q ist aber von der Lothrechten durch den Mittelpunkt um den Winkel φ entfernt, der beschriebene Bogen während der Zeit t ist also = a . φ und sein Differenziale = a . d φ, folglich die Höhe, auf welche die Last Q während der Zeit d t stieg, d s = a . d φ . Sin φ und daher die Geschwindigkeit der Last Q oder v = [FORMEL], woraus [FORMEL]. Eben so ist für die zweite Last d s' = a . d φ . Sin [FORMEL] und v' = [FORMEL], woraus [FORMEL]. Auf gleiche Art erhalten wir für die dritte Last v'' = [FORMEL]. Sin [FORMEL], woraus [FORMEL] u. s. w. Endlich für das Schwungrad V = [FORMEL] und [FORMEL]. Multiplizirt man nun die einzelnen Glieder der obigen Gleichung einerseits mit [FORMEL], [FORMEL] und ander- seits mit [FORMEL], so ist Q . 2 v . d v + Q' . 2 v' . d v' + Q'' . 2 v'' . d v'' .... + R . 2 V . d V = 4 g [FORMEL]. Nunmehr lässt sich diese Gleichung integriren, und es wird Q . v2 + Q' . (v')2 + Q'' . (v'')2 … + R . V2 = 4 g [FORMEL] + Const. Die beständige Grösse wird aus dem Anfange der Bewegung bestimmt, wo nämlich die Kurbeln noch nicht weiter gerückt sind, oder wo φ = 0 ist. Da die Geschwindigkeiten v, v', v'' .... jene waren, womit die Lasten Q, Q', Q'' .... senkrecht hinaufsteigen, so sey auch bei dem Anfange der Bewegung, w die senkrechte Geschwindigkeit der Last Q, w' die senkrechte Geschwindigkeit der Last Q', .... endlich W die Geschwindigkeit des Schwungrades R. Wir erhalten sonach für den Anfang der Bewegung, wo φ = 0 ist, die Gleichung Q . w2 + Q' . (w')2 + Q'' . (w'')2 .... + R . W2 = 4 g [FORMEL] + Const. Subtrahirt man diese Gleichung von der obern, so ist Q [FORMEL] = K . A . φ — Q . a (1 — Cosφ) — Q' . a [FORMEL] — …

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 322. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/358>, abgerufen am 22.11.2024.