Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.
Genaue Berechnung der kleinsten Hubszeit. oder während der ganze Raum b beschrieben wird, unveränderlich wirke. Diess istjedoch nicht genau wahr, weil dem atmosphärischen Drucke zu Anfange des Kolbenhubes eine kleinere und nach Massgabe des Kolbenhubes eine immer grössere Wasserhöhe ent- gegensteht; es ist daher unsere Rechnung nur als eine approximative zu betrachten. Die genauere, mit Hilfe der höhern Analysis gemachte Rechnung haben wir unter dem Texte *) *) Die Zeit, in welcher der kubische Inhalt des Stiefels vom atmosphärischen Drucke angefüllt werden
kann, ergibt sich auf folgende Art. Dem atmosphärischen Drucke steht entgegen: 1tens. die mittlere Höhe der Wassersäule im Saug- und Kolbenrohre a + e + 1/2 b. 2tens. die Geschwindigkeitshöhe, wo- mit das Wasser von unten in das Saugrohr in jedem Augenblicke einfliessen muss [Formel 1] , wo w die mittlere Geschwindigkeit des Kolbens und u die zugehö- rige Geschwindigkeitshöhe ist. 3tens. Der Widerstand des Wassers an den Wänden des Saugrohres [Formel 2] u Weil nun die Schwerkraft jedem Körper in der Zeit d t die Ge- schwindigkeit 2 g . d t = 2 g · [Formel 3] beibringt, hier aber in der Zeit d t dem Wasser im Saugrohre die Geschwindigkeit d v ertheilt wird, und die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, so haben wir 56,4 f . a : 2 g . d t = 56,4 f [Formel 4] : d v oder a : 2 g · [Formel 5] · d w, folglich [Formel 6] oder [Formel 7] . Zur Abkürzung setzen wir [Formel 8] , dann [Formel 9] = m, so haben wir die einfache Gleichung p -- n . u = m · [Formel 10] zu integriren. Hieraus folgt d s = [Formel 11] und s = [Formel 12] . log [Formel 13] , also [Formel 14] = log [Formel 15] , und [Formel 16] , woraus n . u = p [Formel 17] sich ergibt. Die Geschwindigkeit des Kolbens ist also [Formel 18] , sonach [Formel 19] . Setzt man [Formel 20] und 1 -- z2 = [Formel 21] , also log (1 -- z2) = -- [Formel 22] und d s = [Formel 23] . Werden diese Werthe substituirt, so ist: [Formel 24] , demnach [Formel 25] . Genaue Berechnung der kleinsten Hubszeit. oder während der ganze Raum b beschrieben wird, unveränderlich wirke. Diess istjedoch nicht genau wahr, weil dem atmosphärischen Drucke zu Anfange des Kolbenhubes eine kleinere und nach Massgabe des Kolbenhubes eine immer grössere Wasserhöhe ent- gegensteht; es ist daher unsere Rechnung nur als eine approximative zu betrachten. Die genauere, mit Hilfe der höhern Analysis gemachte Rechnung haben wir unter dem Texte *) *) Die Zeit, in welcher der kubische Inhalt des Stiefels vom atmosphärischen Drucke angefüllt werden
kann, ergibt sich auf folgende Art. Dem atmosphärischen Drucke steht entgegen: 1tens. die mittlere Höhe der Wassersäule im Saug- und Kolbenrohre a + e + ½ b. 2tens. die Geschwindigkeitshöhe, wo- mit das Wasser von unten in das Saugrohr in jedem Augenblicke einfliessen muss [Formel 1] , wo w die mittlere Geschwindigkeit des Kolbens und u die zugehö- rige Geschwindigkeitshöhe ist. 3tens. Der Widerstand des Wassers an den Wänden des Saugrohres [Formel 2] u Weil nun die Schwerkraft jedem Körper in der Zeit d t die Ge- schwindigkeit 2 g . d t = 2 g · [Formel 3] beibringt, hier aber in der Zeit d t dem Wasser im Saugrohre die Geschwindigkeit d v ertheilt wird, und die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, so haben wir 56,4 f . a : 2 g . d t = 56,4 f [Formel 4] : d v oder a : 2 g · [Formel 5] · d w, folglich [Formel 6] oder [Formel 7] . Zur Abkürzung setzen wir [Formel 8] , dann [Formel 9] = m, so haben wir die einfache Gleichung p — n . u = m · [Formel 10] zu integriren. Hieraus folgt d s = [Formel 11] und s = [Formel 12] . log [Formel 13] , also [Formel 14] = log [Formel 15] , und [Formel 16] , woraus n . u = p [Formel 17] sich ergibt. Die Geschwindigkeit des Kolbens ist also [Formel 18] , sonach [Formel 19] . Setzt man [Formel 20] und 1 — z2 = [Formel 21] , also log (1 — z2) = — [Formel 22] und d s = [Formel 23] . Werden diese Werthe substituirt, so ist: [Formel 24] , demnach [Formel 25] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0318" n="282"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Genaue Berechnung der kleinsten Hubszeit.</hi></fw><lb/> oder während der ganze Raum b beschrieben wird, <hi rendition="#g">unveränderlich</hi> wirke. Diess ist<lb/> jedoch nicht genau wahr, weil dem atmosphärischen Drucke zu Anfange des Kolbenhubes<lb/> eine kleinere und nach Massgabe des Kolbenhubes eine immer grössere Wasserhöhe ent-<lb/> gegensteht; es ist daher unsere Rechnung nur als eine approximative zu betrachten. Die<lb/> genauere, mit Hilfe der höhern Analysis gemachte Rechnung haben wir unter dem Texte <note place="foot" n="*)">Die Zeit, in welcher der kubische Inhalt des Stiefels vom atmosphärischen Drucke angefüllt werden<lb/> kann, ergibt sich auf folgende Art. Dem atmosphärischen Drucke steht entgegen: 1<hi rendition="#sup">tens.</hi> die mittlere<lb/> Höhe der Wassersäule im Saug- und Kolbenrohre a + e + ½ b. 2<hi rendition="#sup">tens.</hi> die Geschwindigkeitshöhe, wo-<lb/> mit das Wasser von unten in das Saugrohr in jedem Augenblicke einfliessen muss<lb/><formula/>, wo w die mittlere Geschwindigkeit des Kolbens und u die zugehö-<lb/> rige Geschwindigkeitshöhe ist. 3<hi rendition="#sup">tens.</hi> Der Widerstand des Wassers an den Wänden des Saugrohres<lb/><formula/> u Weil nun die Schwerkraft jedem Körper in der Zeit d t die Ge-<lb/> schwindigkeit 2 g . d t = 2 g · <formula/> beibringt, hier aber in der Zeit d t dem Wasser im Saugrohre die<lb/> Geschwindigkeit d v ertheilt wird, und die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, so haben wir<lb/> 56,<hi rendition="#sub">4</hi> f . a : 2 g . d t = 56,<hi rendition="#sub">4</hi> f <formula/> : d v<lb/> oder a : 2 g · <formula/> · d w,<lb/> folglich <formula/><lb/> oder <formula/>. Zur Abkürzung setzen wir<lb/><formula/>, dann <formula/> = m, so haben wir die einfache Gleichung<lb/> p — n . u = m · <formula/> zu integriren. Hieraus folgt d s = <formula/> und s = <formula/>. log <formula/>,<lb/> also <formula/> = log <formula/>, und <formula/>, woraus n . u = p <formula/> sich ergibt.<lb/> Die Geschwindigkeit des Kolbens ist also <formula/>, sonach<lb/><formula/>. Setzt man <formula/><lb/> und 1 — z<hi rendition="#sup">2</hi> = <formula/>, also log (1 — z<hi rendition="#sup">2</hi>) = — <formula/> und d s = <formula/>.<lb/> Werden diese Werthe substituirt, so ist:<lb/><formula/>, demnach<lb/><formula/>.</note><lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [282/0318]
Genaue Berechnung der kleinsten Hubszeit.
oder während der ganze Raum b beschrieben wird, unveränderlich wirke. Diess ist
jedoch nicht genau wahr, weil dem atmosphärischen Drucke zu Anfange des Kolbenhubes
eine kleinere und nach Massgabe des Kolbenhubes eine immer grössere Wasserhöhe ent-
gegensteht; es ist daher unsere Rechnung nur als eine approximative zu betrachten. Die
genauere, mit Hilfe der höhern Analysis gemachte Rechnung haben wir unter dem Texte *)
*) Die Zeit, in welcher der kubische Inhalt des Stiefels vom atmosphärischen Drucke angefüllt werden
kann, ergibt sich auf folgende Art. Dem atmosphärischen Drucke steht entgegen: 1tens. die mittlere
Höhe der Wassersäule im Saug- und Kolbenrohre a + e + ½ b. 2tens. die Geschwindigkeitshöhe, wo-
mit das Wasser von unten in das Saugrohr in jedem Augenblicke einfliessen muss
[FORMEL], wo w die mittlere Geschwindigkeit des Kolbens und u die zugehö-
rige Geschwindigkeitshöhe ist. 3tens. Der Widerstand des Wassers an den Wänden des Saugrohres
[FORMEL] u Weil nun die Schwerkraft jedem Körper in der Zeit d t die Ge-
schwindigkeit 2 g . d t = 2 g · [FORMEL] beibringt, hier aber in der Zeit d t dem Wasser im Saugrohre die
Geschwindigkeit d v ertheilt wird, und die Kräfte ihren Wirkungen proporzional sind, so haben wir
56,4 f . a : 2 g . d t = 56,4 f [FORMEL] : d v
oder a : 2 g · [FORMEL] · d w,
folglich [FORMEL]
oder [FORMEL]. Zur Abkürzung setzen wir
[FORMEL], dann [FORMEL] = m, so haben wir die einfache Gleichung
p — n . u = m · [FORMEL] zu integriren. Hieraus folgt d s = [FORMEL] und s = [FORMEL]. log [FORMEL],
also [FORMEL] = log [FORMEL], und [FORMEL], woraus n . u = p [FORMEL] sich ergibt.
Die Geschwindigkeit des Kolbens ist also [FORMEL], sonach
[FORMEL]. Setzt man [FORMEL]
und 1 — z2 = [FORMEL], also log (1 — z2) = — [FORMEL] und d s = [FORMEL].
Werden diese Werthe substituirt, so ist:
[FORMEL], demnach
[FORMEL].
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