Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Berechnung der Spiralpumpe.

Horne befindet, worin aber die Luft bereits von der äussern atmosphärischen durch den Fig.
10.
Tab.
86.
Wasserbogen a m abgeschlossen ist, wird jeder Punkt m an der Oberfläche des Wassers von
der Wassersäule a m und von dem auf a wirkenden atmosphärischen Druck von 32 Fuss = h
gedrückt. Es wird also der Druck auf die in dem Bogen b m eingeschlossene Luft in jedem
Punkte = h + b m seyn, und eben so stark wird offenbar die Oberfläche des Wassers bei b
gedrückt. Die Verengung der Röhre, welche im zweiten Gewinde Statt findet, ist, wie
bereits bemerkt wurde, die Ursache, dass sich das Wasser im zweiten Gewinde bis n
erhebt, es wird also ein jeder Punkt in der Fläche n von der Wassersäule b n, und weil
in b bereits der Druck h + b m vorhanden ist, im Ganzen von h + b m + c n zusammen-
gepresst werden. Die Kompression der Luft in dem zweiten abgeschlossenen Bogen c n ist
daher eben so gross, oder = h + b m + c n. Auf dieselbe Art werden die Drücke, welche
auf die abgeschlossene Luft in jedem folgenden Rohre wirken, immer um die Höhe der
vorhergehenden Wassersäule vermehrt, und in der letzten Windung wird die eingeschlos-
sene Luft von h + der Summe aller Wassersäulen in den Windungen gedrückt. Diese
Luft erfährt aber von der andern Seite einen Gegendruck, welcher für den Zustand des
Gleichgewichtes eben so gross seyn muss; dieser Druck hat zur Höhe die ganze Steighöhe
H von der Oberfläche des Wassers im Flusse — der Wasserhöhe im letzten Gewinde
+ der Höhe h (= 32 Fuss).

Es sey Fig. 11 der Durchschnitt der ersten Windung, in welcher also die einge- Fig.
11.
bis
13.
schlossene Luft von h + a m' zusammengedrückt wird. In der zweiten Windung Fig. 12
wird die eingeschlossene Luft von h + a m' + a'n', und so in jeder folgenden Windung
um eine Höhe a'o', a'p' .... mehr gedrückt. In der letzten Windung, wo das Wasser den
Punkt k erreicht, wird also die eingeschlossene Luft von der Wassersäule
h + a m' + a' n' + a'o' + .... + a'k' zusammengedrückt. Von der andern Seite, oder von der
Steighöhe aus beträgt die Druckhöhe H + h — k'm'. Da diese zwei Druckhöhen einan-
der gleich seyn müssen, so haben wir: h + am' + a'n' + a'o' + .... + a'k' = H + h — k'm'.
Die Unterschiede zwischen den Wassersäulen a m', a'n', a'o' .... oder die Höhen
m'n', n'o' .... können wegen der gleichförmigen Zunahme der Spannung und Reakzion
der Luft beinahe gleich angenommen werden. Bezeichnet also N die Anzahl der Win-
dungen, so lässt sich die Summe der Wassersäulen in diesen Windungen durch die ein-
fache Gleichung ½ (a m' + a'k') N = am' + a'n' + a'o' + .... + a'k' ausdrücken. Wird
diess in die vorige Gleichung substituirt, so erhalten wir ½ (a m' + a'k') N = H — k'm'.

Es sey nun der mittlere Halbmesser aller Windungen r c = A, der Halbmesser der
ersten Röhre in ihrem Lichten gemessen a r = a und der letzten Röhre a'r = x, endlich
der Winkel, welchen die Oberfläche des Wassers in der letzten Windung mit der Loth-
rechten r l am Mittelpunkte c bildet, oder r c k = w. Demnach wird die Höhe der
Wassersäule in der ersten Windung a m' = 2 A — 2 a und diese Höhe in der letzten Win-
dung a'k' = r c — r a' — k'c = A — x — A. Cos w seyn. Hieraus folgt
k' m' = k'c + c l — l m' = A. Cosw + A — a. Werden diese Werthe in die obige Gleichung
substituirt, so erhalten wir: ½ (2 A — 2 a + A — x — A. Cosw) N = H — A. Cosw — A + a.
Hieraus ergibt sich die Anzahl der Windungen, welche zur Hebung des Wassers auf die
Höhe H erfordert werden, oder [Formel 1] (I).