Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Berechnung der Wassermenge.

beliebigen Bogen λ finden; derselbe ist nämlich =
[Formel 1] . Hiezu
kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä-
che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die
Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel
betrachtet = ⅓ z x . δ e. Weil aber k x' = R . Cos μ und x x' = r. Cos μ, so ist
k x = (R — r) Cos μ, daher z x = (R — r) [Formel 2] ; und da δ e = r (μ — γ), so ist die Fläche
x z d = (R — r) [Formel 3] (μ — γ), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe
= (R — r)² [Formel 4] . Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange μ' und γ' grös-
ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (μ' — γ')
und Höhe x z = (R — r) [Formel 5] , folglich die Fläche (R — r) [Formel 6] , und den
kubischen Inhalt [Formel 7] .

Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen λ, oder
[Formel 8] .
Setzt man λ = μ', so ist die ganze Wassermenge in einem Gewinde
[Formel 9] .

§. 162.

Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde
durchaus bis zu jener horizontalen Fläche anstehen könne, welche durch die berechneten

oder d M = R² . d λ [Formel 10] .
Wird diese Gleichung
integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers
∫ d M = M = [Formel 11] (r . λ . Cos γ — ½ r . λ² . Sin γ + r . λ . γ . Sin γ) — (R³ — r³) [Formel 12] + Const.
Wird für die Bestimmung der Constanten λ = μ gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus
Const. = — [Formel 13] (r . μ . Cos γ — ½ r . μ² . Sin γ + r . μ . γ . Sin γ) + (R³ — r³) [Formel 14] , dem-
nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen λ, nämlich
[Formel 15] .