Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Berechnung der Wassermenge.

§. 160.

Wir kommen nun zur Berechnung der Wassermenge, welche eine Schne-
cke liefert. Die Herren Eytelwein und von Langsdorf suchen die Länge der mitt-
lern Kanallinie, oder die Länge der zentrischen Linie des wasserhaltenden Bo-
gens in einem Gewinde und multipliziren sie mit dem winkelrechten Quer-
schnitte desselben, um den Kubikinhalt des Wassers bei einer Umdrehung in einem
Gange zu finden. Diese Rechnung gilt aber nur für den Fall, wo eine Röhre, wie Fig. 6
Tab. 85 schlangenförmig um eine Spindel gewunden ist; da sich aber gegen ihre Anwen-
dung für einen schneckenförmigen Gang, wie es bei grössern Wasserschnecken der Fall
ist, bei näherer Betrachtung manches einwenden lässt, so wollen wir den kubischen In-
halt des Wassers in einem Gange auf eine andere Art ableiten. Unsere Theorie hat
übrigens mit jener der genannten Schriftsteller das gemein, dass wir die in einem jeden
Gange befindliche Wassermenge im Zustande der Ruhe oder einer sehr langsamen Bewe-
gung betrachten; es ist also eine bloss statische Theorie.

Fig.
8.
Tab.
86.

Es sey der Halbmesser der Spindel c b = r und der äussere Halbmesser der Schnecke
c b' = R, dann die Höhe der Steigung für ein halbes Gewinde w u = h. Demnach ist die
Tangente des Steigungswinkels für die Peripherie des inneren Gewindes Tang α = [Formel 1] ,
und für die Peripherie des äussern Gewindes, welches sich auf dieselbe Höhe h aber in
einem längern Bogen π . R erhebt, ist Tang A = [Formel 2] . Es ist daher
h = π . r . Tang α = π . R . Tang A, da die Höhe h für beide Gewinde gleich ist.

Es sey d irgend ein Punkt in der innern Schneckenlinie, dessen Höhe über den Ho-
rizont a j zu bestimmen ist. Die Projekzion von d auf die Grundfläche der Schnecke falle
in e; setzen wir nun den Winkel b c e = γ, so ist b e = r . γ und wegen der Gleich förmig-
keit der Steigung d e' = r . γ . Tang α = [Formel 3] . Nennen wir den Neigungswinkel der Spindel
gegen den Horizont oder u' w' j = d e' i = β, so ist die Höhe irgend eines Punktes d der
Schneckenwindung an der Spindel = d i + e' a. Nun ist aber d i = d e' . Sin β = r . γ . Tang α . Sin β,
und e' a = e' w' . Cos β = (e' c + c w') Cos β = (r . Cos γ + R) Cos β. Demnach ist die
Höhe irgend eines Punktes d der Windung über dem Horizont
= d i + e' a = r . γ . Tang α . Sin β + (r . Cos γ + R) Cos β = (r . γ . Tang α . Tang β + r . Cos γ + R) Cos β (I).
Da α und β, so wie r und R bei einer schon bestehenden Schnecke gegeben sind, so
wird bloss der Werth von γ die Höhe des Punktes d in der Windung bestimmen, es wird
also auch der höchste und niedrigste Punkt in einer Windung für einen gewissen Werth
von γ vorhanden seyn. Nach der unter dem Texte beigefügten Rechnung ^*) ist in beiden
Fällen Sin γ = Tang α . Tang β = Sin b c e (II).

Fällt hier der Punkt d in den ersten oder vierten Quadranten von b aus gerechnet,
so ist die Höhe d i + e' a ein Maximum, weil Cos γ positiv wird; wenn aber d in den

*) Die Höhe d i + e' a wird in Hinsicht der veränderlichen Grösse γ ein Maximum oder Minimum, wenn
r . d γ . Tang α . Tang β — r . d γ . Sin γ = 0, folglich Sin γ = Tang α . Tang β = Sin b c e. Das zweite Diffe-
renziale hievon ist — r . d² γ . Cos γ, also haben wir für den Fall, als Cos γ positiv ist, ein Maximum,
ist aber Cos γ negativ, so haben wir ein Minimum.