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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Berechnung des Wasserschöpfrades.
Fig.
9.
Tab.
83.a . b . d -- [Formel 1] , es muss also A D . A E = a d . d e, und da A D = a d ist, so muss
auch A E = d e und das Dreieck A E D kongruent mit a e d seyn. Weil aber die Winkel
A E D = G O P = a e d = p O H = w, so sind, weil p O = P O ist, die Dreiecke
p O H und P O G kongruent, daher auch H O = O G, oder die Kästen fangen an,
auf derselben Höhe über der Achse des Rades auszugiessen, bei
welcher sie unter derselben Wasser zu schöpfen aufgehört haben.

Setzen wir den Halbmesser bis zur Mitte der Kästen O P = r, so ist die Höhe
G O = O P . Cos w = r . Cos w und die Höhe O H = p O . Cos w = r . Cos w; folglich die
Summe H G oder die Höhe von der untern Oberfläche des Wassers bis zu jener Fläche
wo das Wasser auszugiessen anfängt, H G = 2 r . Cos w. Die Höhe, auf welcher der
Ausfluss beendigt wird, liegt in der horizontalen Lage des Kastens k k'; diese Höhe
ist = G O + O L = r . Cos w + r -- 1/2 a; also ist die mittlere Höhe, auf welche das Was-
ser gehoben werden muss
1/2 (G H + G L) = 1/2 (2 r . Cos w + r . Cos w + r -- 1/2 a) = r . Cos w + 1/2 r -- 1/4 a und weil
Cos w = Cos2 (1/2 w) -- Sin2 (1/2 w) = 1 -- 2 Sin2 (1/2 w), so ist die Höhe, auf welche das
Wasser gehoben werden muss, H = 2 r -- 3 r . Sin2 (1/2 w) -- 1/4 a. (I)

Setzen wir die Fläche der Schaufeln des Wasserrades = f, die Geschwindigkeit des
gegen die Schaufeln fliessenden Wassers = c, die Geschwindigkeit der Schaufeln in ih-
rem Schwerpunkte = v, so ist nach Seite 351, Band II. die anstossende Wassermenge
M = f . c [Formel 3] , wenn das Gerinne geschlossen ist. Weil aber diese Räder
gewöhnlich in einen offenen Fluss gestellt werden, so können wir nach Seite 404 gemäss
den Erfahrungen des Herrn Woltman nur 2/3 hiervon als zum Stosse kommend anschla-
gen. Die Stosskraft des Wassers, oder die Kraft, welche das Wasserrad aus-
übt, wird sonach (Seite 352, Band II) = 56,4 f . c [Formel 4] seyn.

Der Halbmesser des Rades bis zur Mitte der Schaufeln sey = R, der kubische In-
halt einer Zelle = k, die Anzahl der Kästen an der ganzen Peripherie des Rades = N,
so ist das Gewicht des Wassers, welches die Kästen während einer Umdrehung des Ra-
des schöpfen = 56,4 N . k. Bezeichnet G den Druck der Maschine auf das Zapfenlager
und 2 e den Durchmesser des Zapfens, so haben wir wegen der Gleichheit der Bewe-
gungsmomente: 56,4 f . c [Formel 5] · 2 R

= 56,4 N . k (2 r -- 3 r Sin2 (1/2 w) -- 1/4 a) + m . G . 22/7 . 2 e = 56,4 N . k . H + m . G . 22/7 . 2 e .
Diess ist die vollständige Gleichung zwischen Kraft und Last.

Den Effekt des Wasserschöpfrades finden wir auf folgende Art: In der Zeit der
Umdrehung des Rades = [Formel 6] wird die Wassermenge N . k geschöpft, es ist also der
Effekt oder die gehobene Wassermenge in jeder Sekunde = [Formel 7] · Die Grösse [Formel 8] · 2 R er-

Berechnung des Wasserschöpfrades.
Fig.
9.
Tab.
83.a . b . d — [Formel 1] , es muss also A D . A E = a d . d e, und da A D = a d ist, so muss
auch A E = d e und das Dreieck A E D kongruent mit a e d seyn. Weil aber die Winkel
A E D = G O P = a e d = p O H = w, so sind, weil p O = P O ist, die Dreiecke
p O H und P O G kongruent, daher auch H O = O G, oder die Kästen fangen an,
auf derselben Höhe über der Achse des Rades auszugiessen, bei
welcher sie unter derselben Wasser zu schöpfen aufgehört haben.

Setzen wir den Halbmesser bis zur Mitte der Kästen O P = r, so ist die Höhe
G O = O P . Cos w = r . Cos w und die Höhe O H = p O . Cos w = r . Cos w; folglich die
Summe H G oder die Höhe von der untern Oberfläche des Wassers bis zu jener Fläche
wo das Wasser auszugiessen anfängt, H G = 2 r . Cos w. Die Höhe, auf welcher der
Ausfluss beendigt wird, liegt in der horizontalen Lage des Kastens k k'; diese Höhe
ist = G O + O L = r . Cos w + r — ½ a; also ist die mittlere Höhe, auf welche das Was-
ser gehoben werden muss
½ (G H + G L) = ½ (2 r . Cos w + r . Cos w + r — ½ a) = r . Cos w + ½ r — ¼ a und weil
Cos w = Cos2 (½ w) — Sin2 (½ w) = 1 — 2 Sin2 (½ w), so ist die Höhe, auf welche das
Wasser gehoben werden muss, H = 2 r — 3 r . Sin2 (½ w) — ¼ a. (I)

Setzen wir die Fläche der Schaufeln des Wasserrades = f, die Geschwindigkeit des
gegen die Schaufeln fliessenden Wassers = c, die Geschwindigkeit der Schaufeln in ih-
rem Schwerpunkte = v, so ist nach Seite 351, Band II. die anstossende Wassermenge
M = f . c [Formel 3] , wenn das Gerinne geschlossen ist. Weil aber diese Räder
gewöhnlich in einen offenen Fluss gestellt werden, so können wir nach Seite 404 gemäss
den Erfahrungen des Herrn Woltman nur ⅔ hiervon als zum Stosse kommend anschla-
gen. Die Stosskraft des Wassers, oder die Kraft, welche das Wasserrad aus-
übt, wird sonach (Seite 352, Band II) = 56,4 f . c [Formel 4] seyn.

Der Halbmesser des Rades bis zur Mitte der Schaufeln sey = R, der kubische In-
halt einer Zelle = k, die Anzahl der Kästen an der ganzen Peripherie des Rades = N,
so ist das Gewicht des Wassers, welches die Kästen während einer Umdrehung des Ra-
des schöpfen = 56,4 N . k. Bezeichnet G den Druck der Maschine auf das Zapfenlager
und 2 e den Durchmesser des Zapfens, so haben wir wegen der Gleichheit der Bewe-
gungsmomente: 56,4 f . c [Formel 5] · 2 R

= 56,4 N . k (2 r — 3 r Sin2 (½ w) — ¼ a) + m . G . 22/7 . 2 e = 56,4 N . k . H + m . G . 22/7 . 2 e .
Diess ist die vollständige Gleichung zwischen Kraft und Last.

Den Effekt des Wasserschöpfrades finden wir auf folgende Art: In der Zeit der
Umdrehung des Rades = [Formel 6] wird die Wassermenge N . k geschöpft, es ist also der
Effekt oder die gehobene Wassermenge in jeder Sekunde = [Formel 7] · Die Grösse [Formel 8] · 2 R er-

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[194/0230] Berechnung des Wasserschöpfrades. a . b . d — [FORMEL], es muss also A D . A E = a d . d e, und da A D = a d ist, so muss auch A E = d e und das Dreieck A E D kongruent mit a e d seyn. Weil aber die Winkel A E D = G O P = a e d = p O H = w, so sind, weil p O = P O ist, die Dreiecke p O H und P O G kongruent, daher auch H O = O G, oder die Kästen fangen an, auf derselben Höhe über der Achse des Rades auszugiessen, bei welcher sie unter derselben Wasser zu schöpfen aufgehört haben. Fig. 9. Tab. 83. Setzen wir den Halbmesser bis zur Mitte der Kästen O P = r, so ist die Höhe G O = O P . Cos w = r . Cos w und die Höhe O H = p O . Cos w = r . Cos w; folglich die Summe H G oder die Höhe von der untern Oberfläche des Wassers bis zu jener Fläche wo das Wasser auszugiessen anfängt, H G = 2 r . Cos w. Die Höhe, auf welcher der Ausfluss beendigt wird, liegt in der horizontalen Lage des Kastens k k'; diese Höhe ist = G O + O L = r . Cos w + r — ½ a; also ist die mittlere Höhe, auf welche das Was- ser gehoben werden muss ½ (G H + G L) = ½ (2 r . Cos w + r . Cos w + r — ½ a) = [FORMEL] r . Cos w + ½ r — ¼ a und weil Cos w = Cos2 (½ w) — Sin2 (½ w) = 1 — 2 Sin2 (½ w), so ist die Höhe, auf welche das Wasser gehoben werden muss, H = 2 r — 3 r . Sin2 (½ w) — ¼ a. (I) Setzen wir die Fläche der Schaufeln des Wasserrades = f, die Geschwindigkeit des gegen die Schaufeln fliessenden Wassers = c, die Geschwindigkeit der Schaufeln in ih- rem Schwerpunkte = v, so ist nach Seite 351, Band II. die anstossende Wassermenge M = f . c [FORMEL], wenn das Gerinne geschlossen ist. Weil aber diese Räder gewöhnlich in einen offenen Fluss gestellt werden, so können wir nach Seite 404 gemäss den Erfahrungen des Herrn Woltman nur ⅔ hiervon als zum Stosse kommend anschla- gen. Die Stosskraft des Wassers, oder die Kraft, welche das Wasserrad aus- übt, wird sonach (Seite 352, Band II) = 56,4 f . c [FORMEL] seyn. Der Halbmesser des Rades bis zur Mitte der Schaufeln sey = R, der kubische In- halt einer Zelle = k, die Anzahl der Kästen an der ganzen Peripherie des Rades = N, so ist das Gewicht des Wassers, welches die Kästen während einer Umdrehung des Ra- des schöpfen = 56,4 N . k. Bezeichnet G den Druck der Maschine auf das Zapfenlager und 2 e den Durchmesser des Zapfens, so haben wir wegen der Gleichheit der Bewe- gungsmomente: 56,4 f . c [FORMEL] · 2 R = 56,4 N . k (2 r — 3 r Sin2 (½ w) — ¼ a) + m . G . 22/7 . 2 e = 56,4 N . k . H + m . G . 22/7 . 2 e . Diess ist die vollständige Gleichung zwischen Kraft und Last. Den Effekt des Wasserschöpfrades finden wir auf folgende Art: In der Zeit der Umdrehung des Rades = [FORMEL] wird die Wassermenge N . k geschöpft, es ist also der Effekt oder die gehobene Wassermenge in jeder Sekunde = [FORMEL] · Die Grösse [FORMEL] · 2 R er-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 194. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/230>, abgerufen am 16.02.2025.