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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bahn schief geworfener Körper.
für die Coordinaten x und y, welche zeigen, dass die Bahn des geworfenen Körpers
andern Gesetzen, und nur dann dem Gesetze einer Parabel folgt, wenn man in die-
sen Formeln annimmt, dass der Körper im leeren Raume herabfällt, wo seine Bewegung

= Q [Formel 1] ist und senkrecht auf den Horizont wirkt, wird demnach die auf die Bahn winkel-
recht wirkende Kraft P = Q [Formel 2] Cos l seyn, und weil R = [Formel 3] , so haben wir die Glei-
chung Q [Formel 4] Cos l = -- [Formel 5] . Daraus folgt 2 g · d s [Formel 6] Cos l = -- v2 · d l (II)
Aus der Gleichung (I) folgt 2 g · d s [Formel 7] Cos l = -- [Formel 8] · d (v · Cos l). Demnach haben
wir -- v2 · d l = -- [Formel 9] · d (v . Cos l). Werden beide Glieder der Gleichung mit [Formel 10] divi-
dirt, so erhalten wir -- [Formel 11] . Das Integral des ersten Theiles dieser
Gleichung ist [Formel 12] und das Integral des zweiten Theiles ist
[Formel 13] + nat . log . tang (45 -- 1/2 l) -- nat .·log .·tang (45 -- 1/2 a). Statt dieses letztern
vollständigen Integrales wollen wir der Kürze wegen L schreiben, demnach
[Formel 14] = L setzen. Daraus folgt
v2·Cos2 l = [Formel 15] (III).
Wird die Gleichung III mit II verbunden, so erhalten wir für den Bogen s die Differenzialgleichung
d s = [Formel 16] . Daraus folgt
s = [Formel 17] · nat · log [Formel 18] (IV), wo keine beständige Grösse beizu-
setzen kommt, weil das Integral schon so bestimmt worden ist, dass für l = a der Bogen s ver-
schwindet.
Wenn in der aus I abgeleiteten Integralgleichung nat .·log [Formel 19] für s der
zuletzt gefundene Werth gesetzt wird, so erhalten wir
nat·. log [Formel 20] = 1/2 nat .·log [Formel 21] . Daraus folgt
[Formel 22] und die horizontale Geschwindigkeit in jedem
Punkte der Bahn v. Cos l = [Formel 23] , daher die Geschwindigkeit in der Bahn
v = [Formel 24] und die senkrechte Geschwindigkeit
v. Sin l = [Formel 25] .
Gerstner's Mechanik. Band II. 62

Bahn schief geworfener Körper.
für die Coordinaten x und y, welche zeigen, dass die Bahn des geworfenen Körpers
andern Gesetzen, und nur dann dem Gesetze einer Parabel folgt, wenn man in die-
sen Formeln annimmt, dass der Körper im leeren Raume herabfällt, wo seine Bewegung

= Q [Formel 1] ist und senkrecht auf den Horizont wirkt, wird demnach die auf die Bahn winkel-
recht wirkende Kraft P = Q [Formel 2] Cos λ seyn, und weil R = [Formel 3] , so haben wir die Glei-
chung Q [Formel 4] Cos λ = — [Formel 5] . Daraus folgt 2 g · d s [Formel 6] Cos λ = — v2 · d λ (II)
Aus der Gleichung (I) folgt 2 g · d s [Formel 7] Cos λ = — [Formel 8] · d (v · Cos λ). Demnach haben
wir — v2 · d λ = — [Formel 9] · d (v . Cos λ). Werden beide Glieder der Gleichung mit [Formel 10] divi-
dirt, so erhalten wir — [Formel 11] . Das Integral des ersten Theiles dieser
Gleichung ist [Formel 12] und das Integral des zweiten Theiles ist
[Formel 13] + nat . log . tang (45 — ½ λ) — nat .·log .·tang (45 — ½ α). Statt dieses letztern
vollständigen Integrales wollen wir der Kürze wegen L schreiben, demnach
[Formel 14] = L setzen. Daraus folgt
v2·Cos2 λ = [Formel 15] (III).
Wird die Gleichung III mit II verbunden, so erhalten wir für den Bogen s die Differenzialgleichung
d s = [Formel 16] . Daraus folgt
s = [Formel 17] · nat · log [Formel 18] (IV), wo keine beständige Grösse beizu-
setzen kommt, weil das Integral schon so bestimmt worden ist, dass für λ = α der Bogen s ver-
schwindet.
Wenn in der aus I abgeleiteten Integralgleichung nat .·log [Formel 19] für s der
zuletzt gefundene Werth gesetzt wird, so erhalten wir
nat·. log [Formel 20] = ½ nat .·log [Formel 21] . Daraus folgt
[Formel 22] und die horizontale Geschwindigkeit in jedem
Punkte der Bahn v. Cos λ = [Formel 23] , daher die Geschwindigkeit in der Bahn
v = [Formel 24] und die senkrechte Geschwindigkeit
v. Sin λ = [Formel 25] .
Gerstner’s Mechanik. Band II. 62
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[489/0507] Bahn schief geworfener Körper. für die Coordinaten x und y, welche zeigen, dass die Bahn des geworfenen Körpers andern Gesetzen, und nur dann dem Gesetze einer Parabel folgt, wenn man in die- sen Formeln annimmt, dass der Körper im leeren Raume herabfällt, wo seine Bewegung *) *) = Q [FORMEL] ist und senkrecht auf den Horizont wirkt, wird demnach die auf die Bahn winkel- recht wirkende Kraft P = Q [FORMEL] Cos λ seyn, und weil R = [FORMEL], so haben wir die Glei- chung Q [FORMEL] Cos λ = — [FORMEL]. Daraus folgt 2 g · d s [FORMEL] Cos λ = — v2 · d λ (II) Aus der Gleichung (I) folgt 2 g · d s [FORMEL] Cos λ = — [FORMEL] · d (v · Cos λ). Demnach haben wir — v2 · d λ = — [FORMEL] · d (v . Cos λ). Werden beide Glieder der Gleichung mit [FORMEL] divi- dirt, so erhalten wir — [FORMEL]. Das Integral des ersten Theiles dieser Gleichung ist [FORMEL] und das Integral des zweiten Theiles ist [FORMEL] + nat . log . tang (45 — ½ λ) — nat .·log .·tang (45 — ½ α). Statt dieses letztern vollständigen Integrales wollen wir der Kürze wegen L schreiben, demnach [FORMEL] = L setzen. Daraus folgt v2·Cos2 λ = [FORMEL] (III). Wird die Gleichung III mit II verbunden, so erhalten wir für den Bogen s die Differenzialgleichung d s = [FORMEL]. Daraus folgt s = [FORMEL] · nat · log [FORMEL] (IV), wo keine beständige Grösse beizu- setzen kommt, weil das Integral schon so bestimmt worden ist, dass für λ = α der Bogen s ver- schwindet. Wenn in der aus I abgeleiteten Integralgleichung nat .·log [FORMEL] für s der zuletzt gefundene Werth gesetzt wird, so erhalten wir nat·. log [FORMEL] = ½ nat .·log [FORMEL]. Daraus folgt [FORMEL] und die horizontale Geschwindigkeit in jedem Punkte der Bahn v. Cos λ = [FORMEL], daher die Geschwindigkeit in der Bahn v = [FORMEL] und die senkrechte Geschwindigkeit v. Sin λ = [FORMEL]. Gerstner’s Mechanik. Band II. 62

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 489. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/507>, abgerufen am 05.12.2024.