Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

Widerstand einer Kugel.

Fig.
24.
Tab.
65.der Geschwindigkeit v bewegen müssen, so wird jedes Element A M der Oberfläche
der Kugel, dessen Fläche wir = f setzen wollen, den Widerstand m · w · f · [Formel 1] erfah-
ren, dieser Widerstand sey = A B. Wird derselbe in A D nach der Richtung des
Halbmessers und in A E parallel zur Oberfläche zerlegt, so ist wegen der Aehnlich-
keit der Dreiecke A D B und C A O die Kraft A D = A B · [Formel 2] . Dieselbe Kraft fin-
det sich an der entgegen gesetzten Seite in a, wenn H A = H a gesetzt wird. Nun
können wir diese zwei Kräfte als Widerstände betrachten, welche der Kugel in den
Richtungen der Halbmesser A C und a C begegnen. Weil aber diese zwei Kräfte mit
einander den Winkel A C a bilden, so können wir eine jede derselben wieder in zwei
andere zerlegen, wovon die eine a g = A G = A D · [Formel 3] = A B [Formel 4] nach der
Richtung der Bewegung und die andere a f = A F winkelrecht auf die Richtung der
Bewegung wirkt. Da die letzteren F A und f a in entgegen gesetzten Richtungen wir-
ken, so heben sie sich auf; die erstern G A und g a wirken aber nach der parallelen
Richtung H J, es wird daher ihre Summe 2 A B [Formel 5] den Widerstand der beiden
Elemente in A und a geben.

Wenn wir uns um den Mittelpunkt O dieser Kräfte mit dem Halbmesser A O einen Kreis
denken, dessen Fläche auf die Richtung H J winkelrecht ist, so sehen wir, dass in allen
Punkten der Peripherie dieses Kreises immer zwei einander gegenüberstehende Elemente
denselben Widerstand ausüben; es wird demnach der Widerstand der Zone A M m a dem
Flächeninhalte dieser Zone multiplizirt mit dem Widerstande eines jeden Punktes der Zone
gleich seyn, und derselbe ist = A M · 2 π A O · A G = A M · 2 π A·O · A B [Formel 6] . Setzen wir
statt A B seinen Werth, so ist der Widerstand der Zone = A M . 2 π . A O · m . w · [Formel 7] ,
wo f die Flächeneinheit für jeden Punkt ist. Nach der unten beigefügten höhern Rech-
nung^*) ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche = ⅔ . m . w . π . r² · [Formel 14] .
Weil nun π . r² die Fläche des grössten Kreises oder die Fläche der Projekzion der hal-
ben Kugel ist, so sehen wir, dass der Widerstand der krummen Ober-
fläche der Halbkugel sich zum Widerstand der Projekzionsfläche
wie ⅔ : 1 verhält.

*) Fig.
24.Setzen wir A M = dem Differenzial des Bogens H A = d s, die Ordinate des Kreises A O = y, die
Abscisse H O = x und den Halbmesser der Kugel H C = A C = r, so ist der Widerstand der
Zone = m · w · 2 π · y · d s [Formel 8] . Nun gibt uns aber die Aehnlichkeit der Dreiecke A M N
und A C O die Grösse A M = [Formel 9] , oder d s = [Formel 10] . Wird dieser Werth für d s gesetzt, so ist
der Widerstand der Zone A M m a = m . w . 2 π . r . d x [Formel 11] . Das Integral dieser Glei-
chung gibt den Widerstand der Oberfläche a H A = m . w .·2 π . r [Formel 12] . Setzen
wir nun H O = H C oder x = r, so ist der Widerstand der vordern halben Kugeloberfläche
= ⅔ m . w . π . r² · [Formel 13] .