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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Statisches Moment des Rades.
Fig.
4
und
5.
Tab.
61.

Die Bewegung des Wassers nach der Richtung D f lässt sich abermals in die zwei
Theile D F nach der Richtung der Peripherie und in D d nach der Richtung des Halb-
messers zerlegen. Die erste D F liegt in der Richtung des Theilrisses und da die mitt-
lere D f in der Richtung der Setzschaufeln liegt, so machen sie mit einander den Winkel
m = f D F. Demnach ist die Geschwindigkeit nach der Richtung des Theilrisses, nach
welcher sich nämlich das Rad bewegt, D F = D f . Cos m = [Formel 1] ,
die wir gleich c setzen wollen; die zweite D d liegt in der Richtung des Halbmessers
und wird demnach von der Achse der Welle aufgehalten und entfällt in dieser Hinsicht
aus der Rechnung für den Wasserstoss. Bewegt sich nun das Rad langsamer oder mit
einer kleinern Geschwindigkeit als c, so entsteht ein Wasserstoss, dessen Grösse aus der
Gleichung 56,4 M [Formel 2] bestimmt wird, wo nämlich M die in einer Sekunde in die Zellen
des Rades fliessende Wassermenge und v die Geschwindigkeit des Rades bezeichnet; das
statische Moment dieses Stosses ist = 56,4 M [Formel 3] R, hierzu muss aber noch das stati-
sche Moment des wasserhaltenden Bogens addirt werden. Zu dieser Absicht wollen wir die
Querschnittsfläche des wasserhaltenden Bogens = M N · B mit f bezeichnen. Weil wir
aber den Raum, den die Querschnittsfläche m m' in einer Sekunde beschreibt v nennen,
so ist M offenbar = f · v, also [Formel 4] . Ferner ist die Höhe a' A offenbar = B C = R · Cos w
und die untere Höhe A u' des wasserhaltenden Bogens ist auf gleiche Art
[Formel 5] ; mithin ist das statische Moment des wasserhaltenden Bogens
[Formel 6] . Wird nun dieses zu dem statischen Mo-
mente des Rades addirt, so erhalten wir das gesammte Moment
[Formel 7] . Wir haben aber bereits bei
der Anwendung der thierischen Kräfte, bei dem Wasserstosse an unterschlächtige Räder
und an andern Orten der Mechanik gezeigt, dass der Effekt oder die in einer bestimm-
ten Zeit geleistete Arbeit dem Produkte aus der Kraft in die Geschwindigkeit v des beweg-
ten Körpers gleich sey. Wir erhalten demnach den Effekt in einer Sekunde
[Formel 8] . Wenn nun R, w, l und m ge-
geben sind, so ist der Effekt am grössten, wenn die Geschwindigkeit des Rades v = 1/2 c
gemacht wird; dieser Effekt ist demnach [Formel 9] .
Wir sehen, dass der Effekt nebst der Wassermenge M auch von den Höhen [Formel 10] ,
R . Cos w und R . Cos 1/2 (l + m) abhängt. Das Wasser wäre am vollkommensten ver-
wendet, wenn diese Höhe der ganzen Gefällshöhe vom Oberwasser bis zum
Unterwasser K Y gleich seyn könnte. Diese ganze Höhe K Y ist
= K H + H A + A W + W Y = h + a + 2 R + a, wenn nämlich für das untere Freihängen
des Rades bis zum Theilrisse, W Y = H A = a angenommen wird. Ziehen wir von diesen

Statisches Moment des Rades.
Fig.
4
und
5.
Tab.
61.

Die Bewegung des Wassers nach der Richtung D f lässt sich abermals in die zwei
Theile D F nach der Richtung der Peripherie und in D d nach der Richtung des Halb-
messers zerlegen. Die erste D F liegt in der Richtung des Theilrisses und da die mitt-
lere D f in der Richtung der Setzschaufeln liegt, so machen sie mit einander den Winkel
μ = f D F. Demnach ist die Geschwindigkeit nach der Richtung des Theilrisses, nach
welcher sich nämlich das Rad bewegt, D F = D f . Cos μ = [Formel 1] ,
die wir gleich c setzen wollen; die zweite D d liegt in der Richtung des Halbmessers
und wird demnach von der Achse der Welle aufgehalten und entfällt in dieser Hinsicht
aus der Rechnung für den Wasserstoss. Bewegt sich nun das Rad langsamer oder mit
einer kleinern Geschwindigkeit als c, so entsteht ein Wasserstoss, dessen Grösse aus der
Gleichung 56,4 M [Formel 2] bestimmt wird, wo nämlich M die in einer Sekunde in die Zellen
des Rades fliessende Wassermenge und v die Geschwindigkeit des Rades bezeichnet; das
statische Moment dieses Stosses ist = 56,4 M [Formel 3] R, hierzu muss aber noch das stati-
sche Moment des wasserhaltenden Bogens addirt werden. Zu dieser Absicht wollen wir die
Querschnittsfläche des wasserhaltenden Bogens = M N · B mit f bezeichnen. Weil wir
aber den Raum, den die Querschnittsfläche m m' in einer Sekunde beschreibt v nennen,
so ist M offenbar = f · v, also [Formel 4] . Ferner ist die Höhe a' A offenbar = B C = R · Cos w
und die untere Höhe A u' des wasserhaltenden Bogens ist auf gleiche Art
[Formel 5] ; mithin ist das statische Moment des wasserhaltenden Bogens
[Formel 6] . Wird nun dieses zu dem statischen Mo-
mente des Rades addirt, so erhalten wir das gesammte Moment
[Formel 7] . Wir haben aber bereits bei
der Anwendung der thierischen Kräfte, bei dem Wasserstosse an unterschlächtige Räder
und an andern Orten der Mechanik gezeigt, dass der Effekt oder die in einer bestimm-
ten Zeit geleistete Arbeit dem Produkte aus der Kraft in die Geschwindigkeit v des beweg-
ten Körpers gleich sey. Wir erhalten demnach den Effekt in einer Sekunde
[Formel 8] . Wenn nun R, w, λ und μ ge-
geben sind, so ist der Effekt am grössten, wenn die Geschwindigkeit des Rades v = ½ c
gemacht wird; dieser Effekt ist demnach [Formel 9] .
Wir sehen, dass der Effekt nebst der Wassermenge M auch von den Höhen [Formel 10] ,
R . Cos w und R . Cos ½ (λ + μ) abhängt. Das Wasser wäre am vollkommensten ver-
wendet, wenn diese Höhe der ganzen Gefällshöhe vom Oberwasser bis zum
Unterwasser K Y gleich seyn könnte. Diese ganze Höhe K Y ist
= K H + H A + A W + W Y = h + a + 2 R + a, wenn nämlich für das untere Freihängen
des Rades bis zum Theilrisse, W Y = H A = a angenommen wird. Ziehen wir von diesen

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[418/0436] Statisches Moment des Rades. Die Bewegung des Wassers nach der Richtung D f lässt sich abermals in die zwei Theile D F nach der Richtung der Peripherie und in D d nach der Richtung des Halb- messers zerlegen. Die erste D F liegt in der Richtung des Theilrisses und da die mitt- lere D f in der Richtung der Setzschaufeln liegt, so machen sie mit einander den Winkel μ = f D F. Demnach ist die Geschwindigkeit nach der Richtung des Theilrisses, nach welcher sich nämlich das Rad bewegt, D F = D f . Cos μ = [FORMEL], die wir gleich c setzen wollen; die zweite D d liegt in der Richtung des Halbmessers und wird demnach von der Achse der Welle aufgehalten und entfällt in dieser Hinsicht aus der Rechnung für den Wasserstoss. Bewegt sich nun das Rad langsamer oder mit einer kleinern Geschwindigkeit als c, so entsteht ein Wasserstoss, dessen Grösse aus der Gleichung 56,4 M [FORMEL] bestimmt wird, wo nämlich M die in einer Sekunde in die Zellen des Rades fliessende Wassermenge und v die Geschwindigkeit des Rades bezeichnet; das statische Moment dieses Stosses ist = 56,4 M [FORMEL] R, hierzu muss aber noch das stati- sche Moment des wasserhaltenden Bogens addirt werden. Zu dieser Absicht wollen wir die Querschnittsfläche des wasserhaltenden Bogens = M N · B mit f bezeichnen. Weil wir aber den Raum, den die Querschnittsfläche m m' in einer Sekunde beschreibt v nennen, so ist M offenbar = f · v, also [FORMEL]. Ferner ist die Höhe a' A offenbar = B C = R · Cos w und die untere Höhe A u' des wasserhaltenden Bogens ist auf gleiche Art [FORMEL]; mithin ist das statische Moment des wasserhaltenden Bogens [FORMEL]. Wird nun dieses zu dem statischen Mo- mente des Rades addirt, so erhalten wir das gesammte Moment [FORMEL]. Wir haben aber bereits bei der Anwendung der thierischen Kräfte, bei dem Wasserstosse an unterschlächtige Räder und an andern Orten der Mechanik gezeigt, dass der Effekt oder die in einer bestimm- ten Zeit geleistete Arbeit dem Produkte aus der Kraft in die Geschwindigkeit v des beweg- ten Körpers gleich sey. Wir erhalten demnach den Effekt in einer Sekunde [FORMEL]. Wenn nun R, w, λ und μ ge- geben sind, so ist der Effekt am grössten, wenn die Geschwindigkeit des Rades v = ½ c gemacht wird; dieser Effekt ist demnach [FORMEL]. Wir sehen, dass der Effekt nebst der Wassermenge M auch von den Höhen [FORMEL], R . Cos w und R . Cos ½ (λ + μ) abhängt. Das Wasser wäre am vollkommensten ver- wendet, wenn diese Höhe der ganzen Gefällshöhe vom Oberwasser bis zum Unterwasser K Y gleich seyn könnte. Diese ganze Höhe K Y ist = K H + H A + A W + W Y = h + a + 2 R + a, wenn nämlich für das untere Freihängen des Rades bis zum Theilrisse, W Y = H A = a angenommen wird. Ziehen wir von diesen

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 418. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/436>, abgerufen am 05.12.2024.