Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Mühlkanäle an Flussarmen. Fig.7. Tab. 54.sich nun, wie gross y angenommen werden solle, damit die Arbeit, welche von dem Rade zu Stande gebracht wird, ein Maximum sey. Nimmt man y gross, so wird das Wasser zwar geschwinder fliessen, allein h -- y kleiner werden und im Gegentheile. Weil wir diese Rechnung bloss auf eine elementare Art machen wollen, so ist, wenn *) Wird die obige Grösse auf das Quadrat erhoben, so erhalten wir y
[Formel 8]
· (h -- y)2,
welches zu einem Maximum werden muss. Diess geschieht am leichtesten, wenn wir die Loga- rithmen dieses Produktes nehmen, wornach log y + 3 log (a + [Formel 9] ) + 2 log (h -- y) ein Maximum seyn muss. Diess gibt [Formel 10] = 0. Wird diese Gleichung durch- aus mit y (h -- y) multiplizirt, so ist h -- y -- [Formel 11] -- 2 y = 0 und y = [Formel 12] . Hieraus sehen wir, dass y kleiner als [Formel 13] seyn muss, wir können daher y = [Formel 14] (1 -- u) setzen, wo u eine kleine Bruchzahl ist. Diess gibt substituirt [Formel 15] , woraus u = [Formel 16] folgt. Da u eine kleine Bruchzahl ist, so kann es in der Addizion gegen ganze Zahlen vernachlässiget werden, und wir erhalten u = [Formel 17] . Wird dieser Werth oben substituirt, so folgt y = [Formel 18] (1 -- u) = [Formel 19] . Mühlkanäle an Flussarmen. Fig.7. Tab. 54.sich nun, wie gross y angenommen werden solle, damit die Arbeit, welche von dem Rade zu Stande gebracht wird, ein Maximum sey. Nimmt man y gross, so wird das Wasser zwar geschwinder fliessen, allein h — y kleiner werden und im Gegentheile. Weil wir diese Rechnung bloss auf eine elementare Art machen wollen, so ist, wenn *) Wird die obige Grösse auf das Quadrat erhoben, so erhalten wir y
[Formel 8]
· (h — y)2,
welches zu einem Maximum werden muss. Diess geschieht am leichtesten, wenn wir die Loga- rithmen dieses Produktes nehmen, wornach log y + 3 log (a + [Formel 9] ) + 2 log (h — y) ein Maximum seyn muss. Diess gibt [Formel 10] = 0. Wird diese Gleichung durch- aus mit y (h — y) multiplizirt, so ist h — y — [Formel 11] — 2 y = 0 und y = [Formel 12] . Hieraus sehen wir, dass y kleiner als [Formel 13] seyn muss, wir können daher y = [Formel 14] (1 — u) setzen, wo u eine kleine Bruchzahl ist. Diess gibt substituirt [Formel 15] , woraus u = [Formel 16] folgt. Da u eine kleine Bruchzahl ist, so kann es in der Addizion gegen ganze Zahlen vernachlässiget werden, und wir erhalten u = [Formel 17] . Wird dieser Werth oben substituirt, so folgt y = [Formel 18] (1 — u) = [Formel 19] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0316" n="298"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Mühlkanäle an Flussarmen</hi>.</fw><lb/><note place="left">Fig.<lb/> 7.<lb/> Tab.<lb/> 54.</note>sich nun, wie gross y angenommen werden solle, damit die Arbeit, welche von dem Rade<lb/> zu Stande gebracht wird, ein Maximum sey. Nimmt man y gross, so wird das Wasser<lb/> zwar geschwinder fliessen, allein h — y kleiner werden und im Gegentheile.</p><lb/> <p>Weil wir diese Rechnung bloss auf eine elementare Art machen wollen, so ist, wenn<lb/> a die Tiefe A b des Wassers vor dem Einbaue bezeichnet, die mittlere Tiefe des Wassers<lb/> = <formula/> = a + <formula/>. Die mittlere Geschwindigkeit v, womit das<lb/> Wasser in dem Kanale herabfliessen wird, ergibt sich aus der Gleichung<lb/><formula/> = <formula/>, woraus v = <formula/> folgt. Bezeichnet B<lb/> die ganze Breite des Flussarmes, so ist die Wassermenge, welche durch denselben her-<lb/> abfliesst und zur Betreibung der Räder verwendet werden kann<lb/> = B <formula/>. Wir werden in der Folge sehen, dass<lb/> bei allen Mühlwerken das mechanische Moment oder die zu bewirkende Arbeit eines<lb/> unterschlächtigen Wasserrades dem Produkte der Wassermenge in das Gefälle propor-<lb/> zional sey; soll daher die Arbeit ein Maximum seyn, so muss auch die obige Wasser-<lb/> menge, multiplizirt mit dem Gefälle h — y möglichst gross werden. Wenn wir die be-<lb/> ständigen Grössen weglassen, so muss das Produkt<lb/><formula/> · (h — y) zu einem Maximum werden. Nach der<lb/> unten beigefügten höhern Rechnung <note place="foot" n="*)">Wird die obige Grösse auf das Quadrat erhoben, so erhalten wir y <formula/> · (h — y)<hi rendition="#sup">2</hi>,<lb/> welches zu einem Maximum werden muss. Diess geschieht am leichtesten, wenn wir die Loga-<lb/> rithmen dieses Produktes nehmen, wornach log y + 3 log (a + <formula/>) + 2 log (h — y) ein<lb/> Maximum seyn muss. Diess gibt <formula/> = 0. Wird diese Gleichung durch-<lb/> aus mit y (h — y) multiplizirt, so ist<lb/> h — y — <formula/> — 2 y = 0 und y = <formula/>. Hieraus sehen wir, dass y<lb/> kleiner als <formula/> seyn muss, wir können daher y = <formula/> (1 — u) setzen, wo u eine kleine Bruchzahl ist.<lb/> Diess gibt substituirt <formula/>, woraus<lb/> u = <formula/> folgt. Da u eine kleine Bruchzahl ist, so kann es in der Addizion gegen<lb/> ganze Zahlen vernachlässiget werden, und wir erhalten u = <formula/>. Wird dieser<lb/> Werth oben substituirt, so folgt y = <formula/> (1 — u) = <formula/>.</note> findet diess Statt, wenn y = <formula/> ist.</p><lb/> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [298/0316]
Mühlkanäle an Flussarmen.
sich nun, wie gross y angenommen werden solle, damit die Arbeit, welche von dem Rade
zu Stande gebracht wird, ein Maximum sey. Nimmt man y gross, so wird das Wasser
zwar geschwinder fliessen, allein h — y kleiner werden und im Gegentheile.
Fig.
7.
Tab.
54.
Weil wir diese Rechnung bloss auf eine elementare Art machen wollen, so ist, wenn
a die Tiefe A b des Wassers vor dem Einbaue bezeichnet, die mittlere Tiefe des Wassers
= [FORMEL] = a + [FORMEL]. Die mittlere Geschwindigkeit v, womit das
Wasser in dem Kanale herabfliessen wird, ergibt sich aus der Gleichung
[FORMEL] = [FORMEL], woraus v = [FORMEL] folgt. Bezeichnet B
die ganze Breite des Flussarmes, so ist die Wassermenge, welche durch denselben her-
abfliesst und zur Betreibung der Räder verwendet werden kann
= B [FORMEL]. Wir werden in der Folge sehen, dass
bei allen Mühlwerken das mechanische Moment oder die zu bewirkende Arbeit eines
unterschlächtigen Wasserrades dem Produkte der Wassermenge in das Gefälle propor-
zional sey; soll daher die Arbeit ein Maximum seyn, so muss auch die obige Wasser-
menge, multiplizirt mit dem Gefälle h — y möglichst gross werden. Wenn wir die be-
ständigen Grössen weglassen, so muss das Produkt
[FORMEL] · (h — y) zu einem Maximum werden. Nach der
unten beigefügten höhern Rechnung *) findet diess Statt, wenn y = [FORMEL] ist.
*) Wird die obige Grösse auf das Quadrat erhoben, so erhalten wir y [FORMEL] · (h — y)2,
welches zu einem Maximum werden muss. Diess geschieht am leichtesten, wenn wir die Loga-
rithmen dieses Produktes nehmen, wornach log y + 3 log (a + [FORMEL]) + 2 log (h — y) ein
Maximum seyn muss. Diess gibt [FORMEL] = 0. Wird diese Gleichung durch-
aus mit y (h — y) multiplizirt, so ist
h — y — [FORMEL] — 2 y = 0 und y = [FORMEL]. Hieraus sehen wir, dass y
kleiner als [FORMEL] seyn muss, wir können daher y = [FORMEL] (1 — u) setzen, wo u eine kleine Bruchzahl ist.
Diess gibt substituirt [FORMEL], woraus
u = [FORMEL] folgt. Da u eine kleine Bruchzahl ist, so kann es in der Addizion gegen
ganze Zahlen vernachlässiget werden, und wir erhalten u = [FORMEL]. Wird dieser
Werth oben substituirt, so folgt y = [FORMEL] (1 — u) = [FORMEL].
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 298. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/316>, abgerufen am 05.12.2024. |
