Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Schwankende Bewegung des Wassers in Hebern. Schwingung, in welcher nämlich das Wasser von einer Erhöhung zur nächstfolgen-Fig.3. Tab. 53. den in demselben Schenkel zurückkehrt = p sqrt [Formel 1] sey, wenn die Länge des mit Wasser ge- füllten Hebers C O C' = l ist. Aus der Mechanik fester Körper wissen wir aber, dass wenn ein Körper im freien. Falle durch die Länge l herabfällt, die hierzu erforderliche Zeit = sqrt [Formel 2] ist. Es verhält sich demnach die Schwingungszeit des Wassers im Heber, zur Zeit, in welcher dasselbe Wasser durch die Länge l herabfällt, wie p : 1 oder wie die Peripherie des Kreises zum Durchmesser. Hieraus sehen wir, dass die Schwingungs- zeiten alle einander gleich sind, und dass jede um so grösser ist, je grösser die Länge l des im Heber hefindlichen Wassers ist. Die Querschnittsfläche des Hebers und die Höhe der Erhebung des Wassers haben hierauf gar keinen Einfluss. Eine ähnliche Eigenschaft hat man an den Wellen des Meeres bemerkt, wovon wir später noch um- ständlicher handeln werden. §. 199. Unter den Anwendungen des Hebers wird gewöhnlich der sogenannte Heronsbrunn Gliedern dieser Proporzion gibt f . l . d c = 2 f (a -- x) 2 g . d t. Der Raum, den das Wasser inFig. 3. der Zeit d t bei der Fortsetzung seiner Bewegung von M mit der Geschwindigkeit c zurücklegt. ist offenbar d x = c . d t. Daraus folgt d t = [Formel 3] . Dieser Werth in die obige Gleichung gesetzt, gibt nach der Division mit f die Gleichung l . c . d c = 2 (a -- x) 2 g . d x. Diese Gleichung integrirt gibt 1 . c2 = 4 g (2 a -- x) x. Daraus folgt c = 2 [Formel 4] . Hieraus sehen wir, dass die Geschwindigkeit von A bis C immer zunimmt, in C aber, wo x = a am grössten ist, und von C abwärts bis B wieder abnimmt und in B = 0 ist. Die Be- stimmung der Zeit, in welcher der Raum A B oder die halbe Schwingung zurückgelegt wird, erhal- ten wir aus der Gleichung d t = [Formel 5] . Um diese Gleichung auf eine bequeme Art integriren zu können, wollen wir den Bogen A N = a . l oder den Winkel A C N = l setzen, so ist C M = a -- x = a . Cos l und A M = x = a -- a. Cos l, daher d x = a . d l . Sin l. Setzen wir diese Werthe in die obige Gleichung, so erhalten wir d t = [Formel 6] , daraus folgt t = [Formel 7] . Demnach erhalten wir die Zeit, in welcher das Wasser von A bis B kommt, wenn wir l = p setzen, und diese ist T = [Formel 8] , und eben so ist die Zeit, in welcher das Wasser von B nach A zurückkehrt oder T' = [Formel 9] . Also ist die Zeit einer Schwingung oder die Zeit der Rückkehr von einer Erhöhung zur nächst folgenden T + T' = p [Formel 10] . 35*
Schwankende Bewegung des Wassers in Hebern. Schwingung, in welcher nämlich das Wasser von einer Erhöhung zur nächstfolgen-Fig.3. Tab. 53. den in demselben Schenkel zurückkehrt = π √ [Formel 1] sey, wenn die Länge des mit Wasser ge- füllten Hebers C O C' = l ist. Aus der Mechanik fester Körper wissen wir aber, dass wenn ein Körper im freien. Falle durch die Länge l herabfällt, die hierzu erforderliche Zeit = √ [Formel 2] ist. Es verhält sich demnach die Schwingungszeit des Wassers im Heber, zur Zeit, in welcher dasselbe Wasser durch die Länge l herabfällt, wie π : 1 oder wie die Peripherie des Kreises zum Durchmesser. Hieraus sehen wir, dass die Schwingungs- zeiten alle einander gleich sind, und dass jede um so grösser ist, je grösser die Länge l des im Heber hefindlichen Wassers ist. Die Querschnittsfläche des Hebers und die Höhe der Erhebung des Wassers haben hierauf gar keinen Einfluss. Eine ähnliche Eigenschaft hat man an den Wellen des Meeres bemerkt, wovon wir später noch um- ständlicher handeln werden. §. 199. Unter den Anwendungen des Hebers wird gewöhnlich der sogenannte Heronsbrunn Gliedern dieser Proporzion gibt f . l . d c = 2 f (a — x) 2 g . d t. Der Raum, den das Wasser inFig. 3. der Zeit d t bei der Fortsetzung seiner Bewegung von M mit der Geschwindigkeit c zurücklegt. ist offenbar d x = c . d t. Daraus folgt d t = [Formel 3] . Dieser Werth in die obige Gleichung gesetzt, gibt nach der Division mit f die Gleichung l . c . d c = 2 (a — x) 2 g . d x. Diese Gleichung integrirt gibt 1 . c2 = 4 g (2 a — x) x. Daraus folgt c = 2 [Formel 4] . Hieraus sehen wir, dass die Geschwindigkeit von A bis C immer zunimmt, in C aber, wo x = a am grössten ist, und von C abwärts bis B wieder abnimmt und in B = 0 ist. Die Be- stimmung der Zeit, in welcher der Raum A B oder die halbe Schwingung zurückgelegt wird, erhal- ten wir aus der Gleichung d t = [Formel 5] . Um diese Gleichung auf eine bequeme Art integriren zu können, wollen wir den Bogen A N = a . λ oder den Winkel A C N = λ setzen, so ist C M = a — x = a . Cos λ und A M = x = a — a. Cos λ, daher d x = a . d λ . Sin λ. Setzen wir diese Werthe in die obige Gleichung, so erhalten wir d t = [Formel 6] , daraus folgt t = [Formel 7] . Demnach erhalten wir die Zeit, in welcher das Wasser von A bis B kommt, wenn wir λ = π setzen, und diese ist T = [Formel 8] , und eben so ist die Zeit, in welcher das Wasser von B nach A zurückkehrt oder T' = [Formel 9] . Also ist die Zeit einer Schwingung oder die Zeit der Rückkehr von einer Erhöhung zur nächst folgenden T + T' = π [Formel 10] . 35*
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Schwankende Bewegung des Wassers in Hebern.
Schwingung, in welcher nämlich das Wasser von einer Erhöhung zur nächstfolgen-
den in demselben Schenkel zurückkehrt = π √ [FORMEL] sey, wenn die Länge des mit Wasser ge-
füllten Hebers C O C' = l ist. Aus der Mechanik fester Körper wissen wir aber, dass wenn
ein Körper im freien. Falle durch die Länge l herabfällt, die hierzu erforderliche Zeit
= √ [FORMEL] ist. Es verhält sich demnach die Schwingungszeit des Wassers im Heber, zur
Zeit, in welcher dasselbe Wasser durch die Länge l herabfällt, wie π : 1 oder wie die
Peripherie des Kreises zum Durchmesser. Hieraus sehen wir, dass die Schwingungs-
zeiten alle einander gleich sind, und dass jede um so grösser ist, je grösser die Länge
l des im Heber hefindlichen Wassers ist. Die Querschnittsfläche des Hebers und die
Höhe der Erhebung des Wassers haben hierauf gar keinen Einfluss. Eine ähnliche
Eigenschaft hat man an den Wellen des Meeres bemerkt, wovon wir später noch um-
ständlicher handeln werden.
Fig.
3.
Tab.
53.
§. 199.
Unter den Anwendungen des Hebers wird gewöhnlich der sogenannte Heronsbrunn
angeführt. Der angebliche Erfinder desselben war ebenfalls Heron von Alexandrien,
welcher 120 Jahre v. Chr. lebte. Der Heronsbrunn besteht aus zwei von allen Seiten
luftdicht geschlossenen Wasserbehältern M und N, welche mit einander durch zwei Röh-
ren verbunden sind. Das Ende der einen Röhre befindet sich in dem obern Deckel A B
*)
Fig.
4.
*) Gliedern dieser Proporzion gibt f . l . d c = 2 f (a — x) 2 g . d t. Der Raum, den das Wasser in
der Zeit d t bei der Fortsetzung seiner Bewegung von M mit der Geschwindigkeit c zurücklegt. ist
offenbar d x = c . d t. Daraus folgt d t = [FORMEL]. Dieser Werth in die obige Gleichung gesetzt, gibt
nach der Division mit f die Gleichung l . c . d c = 2 (a — x) 2 g . d x. Diese Gleichung integrirt gibt
1 . c2 = 4 g (2 a — x) x. Daraus folgt c = 2 [FORMEL].
Hieraus sehen wir, dass die Geschwindigkeit von A bis C immer zunimmt, in C aber, wo
x = a am grössten ist, und von C abwärts bis B wieder abnimmt und in B = 0 ist. Die Be-
stimmung der Zeit, in welcher der Raum A B oder die halbe Schwingung zurückgelegt wird, erhal-
ten wir aus der Gleichung d t = [FORMEL]. Um diese Gleichung auf eine bequeme Art
integriren zu können, wollen wir den Bogen A N = a . λ oder den Winkel A C N = λ setzen, so ist
C M = a — x = a . Cos λ und A M = x = a — a. Cos λ, daher d x = a . d λ . Sin λ. Setzen wir diese
Werthe in die obige Gleichung, so erhalten wir
d t = [FORMEL], daraus
folgt t = [FORMEL]. Demnach erhalten wir die Zeit, in welcher das Wasser von A bis B kommt,
wenn wir λ = π setzen, und diese ist T = [FORMEL], und eben so ist die Zeit, in welcher das
Wasser von B nach A zurückkehrt oder T' = [FORMEL]. Also ist die Zeit einer Schwingung oder
die Zeit der Rückkehr von einer Erhöhung zur nächst folgenden T + T' = π [FORMEL].
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 275. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/293>, abgerufen am 18.12.2024. |
