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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Verzeichnung elyptischer Bögen.

Fig.
10.
Tab.
19.Der Beweis hiefür ergibt sich aus der Figur selbst; es bleibt daher nur zu bemer-
ken, dass der auf diese Art entstandene Bogen der Elypse um so näher kommt, je we-
niger die beiden halben Achsen von einander verschieden sind. Wenn nämlich die
Höhe B C so klein ist, dass die aus B zu B' D parallel gezogene Linie B F in den Punkt
A trifft, so wird A A' E ein gleichseitiges Dreieck geben, und der Bogen A B A' gibt
bloss den Kreisausschnitt, dessen beide Schenkel den Winkel von 60 Grad einschliessen.

§. 385.

Da der plötzliche Uibergang von der Krümmung eines grössern Kreises zu einem
kleinern an dem Orte, wo die beiden Bögen sich in einander verlaufen, zu sichtbar
auffällt, so hat man es vorgezogen, zur Verzeichnung der elyptischen Bö-
gen von grössern Spannweiten mehrere Halbmesser anzunehmen,
um dadurch dem Auge diese sichtbare Ungleichheit möglichst zu verbergen; diese Li-
nien wurden in neuern Zeiten Korblinien genannt. Wenn aber diese Bögen nach
ihrer Zusammensetzung den elyptischen Bogen von einer gegebenen Höhe und Weite
bilden sollen, so bedarf es einer umständlichen Berechnung, mittelst welcher sowohl
die Grösse der Krümmungshalbmesser, als die Orte der Mittelpunkte dieser Bögen zu
bestimmen sind.

Fig.
11.Zu dieser Absicht hat Perronet für den Bau der steinernen Brücke zu
Neuilly den Lehrbogen aus 11 verschiedenen Kreisbögen zusammengesetzt, und hiezu
die ganze Weite 2 C Z = 2 a = 120 Fuss und die Höhe C A = b = 30 Fuss angenom-
men. Da in diesem Falle der Krümmungshalbmesser für den Punkt A = [Formel 1] = 120 Fuss
und für den Punkt Z = [Formel 2] = 15 Fuss ist, so wurde die Linie G C = 90 Fuss zuerst in
5 gleiche Theile, und C b = a -- [Formel 3] = 45 Fuss in 15 Theile getheilt, jedoch so, dass
C g = 5 Theile betrug, folglich C g = 15 Fuss, dann g f = 4 Theile oder = 12 Fuss, ferner
f e = 3 Theile oder = 9 Fuss, weiters d e = 2 Theile = 6 Fuss, endlich
b d = 1 Theile = 3 Fuss erhielt. Dann beschrieb er aus dem Mittelpunkte G den Bo-
gen A g', dann aus F', wo die Linien G g' und F f' sich schneiden, den Bogen g' f';
auf gleiche Art aus E' den Bogen f' e'; aus D' den Bogen e' d' und aus B' den Bogen
d' b', endlich aus b den Bogen b' Z.

Nun untersuchte Perronet die Höhen der Ordinaten g' i, f' k .... und verglich
sie mit denjenigen Höhen, welche der Construktion einer vollkommenen Elypse entspre-
chen. Um die gefundenen Differenzen auszugleichen, fand er nun, dass man C B = 24 Fuss
und Z b = 39,89 Fuss oder 40 Fuss annehmen müsse. Von diesen zwei Punkten aus wurde
nun die Verzeichnung auf die vorher beschriebene Art vorgenommen, und der elyptische
Bogen konstruirt. Da jedoch diese Verzeichnung wesentlich auf dem Umstande beruht,
dass die Höhe C A = b der 4te Theil der Spannweite 2 C Z = 2 a oder b = [Formel 4]
seyn müsse, so sieht man von selbst, dass diese Verzeichnungsart auch nur in diesem
Falle für eine verhältnissmässige Vergrösserung oder Verkleinerung brauchbar seyn könne.

Verzeichnung elyptischer Bögen.

Fig.
10.
Tab.
19.Der Beweis hiefür ergibt sich aus der Figur selbst; es bleibt daher nur zu bemer-
ken, dass der auf diese Art entstandene Bogen der Elypse um so näher kommt, je we-
niger die beiden halben Achsen von einander verschieden sind. Wenn nämlich die
Höhe B C so klein ist, dass die aus B zu B' D parallel gezogene Linie B F in den Punkt
A trifft, so wird A A' E ein gleichseitiges Dreieck geben, und der Bogen A B A' gibt
bloss den Kreisausschnitt, dessen beide Schenkel den Winkel von 60 Grad einschliessen.

§. 385.

Da der plötzliche Uibergang von der Krümmung eines grössern Kreises zu einem
kleinern an dem Orte, wo die beiden Bögen sich in einander verlaufen, zu sichtbar
auffällt, so hat man es vorgezogen, zur Verzeichnung der elyptischen Bö-
gen von grössern Spannweiten mehrere Halbmesser anzunehmen,
um dadurch dem Auge diese sichtbare Ungleichheit möglichst zu verbergen; diese Li-
nien wurden in neuern Zeiten Korblinien genannt. Wenn aber diese Bögen nach
ihrer Zusammensetzung den elyptischen Bogen von einer gegebenen Höhe und Weite
bilden sollen, so bedarf es einer umständlichen Berechnung, mittelst welcher sowohl
die Grösse der Krümmungshalbmesser, als die Orte der Mittelpunkte dieser Bögen zu
bestimmen sind.

Fig.
11.Zu dieser Absicht hat Perronet für den Bau der steinernen Brücke zu
Neuilly den Lehrbogen aus 11 verschiedenen Kreisbögen zusammengesetzt, und hiezu
die ganze Weite 2 C Z = 2 a = 120 Fuss und die Höhe C A = b = 30 Fuss angenom-
men. Da in diesem Falle der Krümmungshalbmesser für den Punkt A = [Formel 1] = 120 Fuss
und für den Punkt Z = [Formel 2] = 15 Fuss ist, so wurde die Linie G C = 90 Fuss zuerst in
5 gleiche Theile, und C b = a — [Formel 3] = 45 Fuss in 15 Theile getheilt, jedoch so, dass
C g = 5 Theile betrug, folglich C g = 15 Fuss, dann g f = 4 Theile oder = 12 Fuss, ferner
f e = 3 Theile oder = 9 Fuss, weiters d e = 2 Theile = 6 Fuss, endlich
b d = 1 Theile = 3 Fuss erhielt. Dann beschrieb er aus dem Mittelpunkte G den Bo-
gen A g', dann aus F', wo die Linien G g' und F f' sich schneiden, den Bogen g' f';
auf gleiche Art aus E' den Bogen f' e'; aus D' den Bogen e' d' und aus B' den Bogen
d' b', endlich aus b den Bogen b' Z.

Nun untersuchte Perronet die Höhen der Ordinaten g' i, f' k .... und verglich
sie mit denjenigen Höhen, welche der Construktion einer vollkommenen Elypse entspre-
chen. Um die gefundenen Differenzen auszugleichen, fand er nun, dass man C B = 24 Fuss
und Z b = 39,89 Fuss oder 40 Fuss annehmen müsse. Von diesen zwei Punkten aus wurde
nun die Verzeichnung auf die vorher beschriebene Art vorgenommen, und der elyptische
Bogen konstruirt. Da jedoch diese Verzeichnung wesentlich auf dem Umstande beruht,
dass die Höhe C A = b der 4te Theil der Spannweite 2 C Z = 2 a oder b = [Formel 4]
seyn müsse, so sieht man von selbst, dass diese Verzeichnungsart auch nur in diesem
Falle für eine verhältnissmässige Vergrösserung oder Verkleinerung brauchbar seyn könne.

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[434/0464] Verzeichnung elyptischer Bögen. Der Beweis hiefür ergibt sich aus der Figur selbst; es bleibt daher nur zu bemer- ken, dass der auf diese Art entstandene Bogen der Elypse um so näher kommt, je we- niger die beiden halben Achsen von einander verschieden sind. Wenn nämlich die Höhe B C so klein ist, dass die aus B zu B' D parallel gezogene Linie B F in den Punkt A trifft, so wird A A' E ein gleichseitiges Dreieck geben, und der Bogen A B A' gibt bloss den Kreisausschnitt, dessen beide Schenkel den Winkel von 60 Grad einschliessen. Fig. 10. Tab. 19. §. 385. Da der plötzliche Uibergang von der Krümmung eines grössern Kreises zu einem kleinern an dem Orte, wo die beiden Bögen sich in einander verlaufen, zu sichtbar auffällt, so hat man es vorgezogen, zur Verzeichnung der elyptischen Bö- gen von grössern Spannweiten mehrere Halbmesser anzunehmen, um dadurch dem Auge diese sichtbare Ungleichheit möglichst zu verbergen; diese Li- nien wurden in neuern Zeiten Korblinien genannt. Wenn aber diese Bögen nach ihrer Zusammensetzung den elyptischen Bogen von einer gegebenen Höhe und Weite bilden sollen, so bedarf es einer umständlichen Berechnung, mittelst welcher sowohl die Grösse der Krümmungshalbmesser, als die Orte der Mittelpunkte dieser Bögen zu bestimmen sind. Zu dieser Absicht hat Perronet für den Bau der steinernen Brücke zu Neuilly den Lehrbogen aus 11 verschiedenen Kreisbögen zusammengesetzt, und hiezu die ganze Weite 2 C Z = 2 a = 120 Fuss und die Höhe C A = b = 30 Fuss angenom- men. Da in diesem Falle der Krümmungshalbmesser für den Punkt A = [FORMEL] = 120 Fuss und für den Punkt Z = [FORMEL] = 15 Fuss ist, so wurde die Linie G C = 90 Fuss zuerst in 5 gleiche Theile, und C b = a — [FORMEL] = 45 Fuss in 15 Theile getheilt, jedoch so, dass C g = 5 Theile betrug, folglich C g = 15 Fuss, dann g f = 4 Theile oder = 12 Fuss, ferner f e = 3 Theile oder = 9 Fuss, weiters d e = 2 Theile = 6 Fuss, endlich b d = 1 Theile = 3 Fuss erhielt. Dann beschrieb er aus dem Mittelpunkte G den Bo- gen A g', dann aus F', wo die Linien G g' und F f' sich schneiden, den Bogen g' f'; auf gleiche Art aus E' den Bogen f' e'; aus D' den Bogen e' d' und aus B' den Bogen d' b', endlich aus b den Bogen b' Z. Fig. 11. Nun untersuchte Perronet die Höhen der Ordinaten g' i, f' k .... und verglich sie mit denjenigen Höhen, welche der Construktion einer vollkommenen Elypse entspre- chen. Um die gefundenen Differenzen auszugleichen, fand er nun, dass man C B = 24 Fuss und Z b = 39,89 Fuss oder 40 Fuss annehmen müsse. Von diesen zwei Punkten aus wurde nun die Verzeichnung auf die vorher beschriebene Art vorgenommen, und der elyptische Bogen konstruirt. Da jedoch diese Verzeichnung wesentlich auf dem Umstande beruht, dass die Höhe C A = b der 4te Theil der Spannweite 2 C Z = 2 a oder b = [FORMEL] seyn müsse, so sieht man von selbst, dass diese Verzeichnungsart auch nur in diesem Falle für eine verhältnissmässige Vergrösserung oder Verkleinerung brauchbar seyn könne.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 434. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/464>, abgerufen am 18.11.2024.