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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Stützlinie für das elyptische Gewölbe.
zum senkrechten, wie sich a : b verhält, wo mit a die halbe grössere Achse oder die
halbe Spannweite, und mit b die halbe kleinere Achse oder die Höhe des Gewölbes in
der Mitte bezeichnet wird.

Fig.
3.
Tab.
19.Setzen wir itzt die Coordinaten der Stützlinie B Q = x und Q N = z, so ist [Formel 1] . Weil aber
x = B Q = M P = a . Sin v, so ist d x = a . d v . Cos v sonach [Formel 2]
Für den Punkt S ist allgemein für den Kreis t R = a . Cos v', folglich in der Elypse S R = b . Cos v'
und C R = a . Sin v', mithin [Formel 3] tang v'; weil aber für den Punkt
S, v' = 45° so ist [Formel 4] Werden nun diese Werthe in die obige Proportion
gesetzt, so erhalten wir s. d : b . d = [Formel 5] , hieraus folgt d z = [Formel 6] Um
diese Gleichung zu integriren, muss der Bogen s durch eine Funktion von v, und auf gleiche Art auch b
durch eine Funktion des Bogens von 45 Graden ausgedrückt werden. Hiezu dient die allgemeine
Gleichung für die Punkte M in der Elypse, für welche die Abscisse x = P M = H J = a . Sin v und
die Ordinate y = G M = b . Cos v, woraus folgt d s2 = d x2 + d y2 = (a . d v . Cos v)2 + (b . d v . Sin v)2,
folglich d s = d v sqrt (a2 . Cos2 v + b2 . Sin2 v). Setzen wir nun das Quadrat der Excentricität
e2 = a2 -- b2, folglich b2 = a2 -- e2, so ist d s = a . d v [Formel 7]
beinahe. Wird diese Gleichung integrirt, so ist s = a . v -- [Formel 8] (v -- Sin v . Cos v); für den Win-
kel von 45 Grad ist v = [Formel 9] und Sin v . Cos v = 1/2, also der Bogen
[Formel 10] Werden diese Werthe in die obige Gleichung gesetzt, so er-
halten wir : [Formel 11] b . d v . Cos v (v -- Sin v. Cos v).
Wird diese Gleichung integrirt, so erhalten wir:
[Formel 12] Mit dem Coefficienten von z dividirt und die vierten Potenzen von [Formel 13] vernachlässigt, gibt
[Formel 14] Setzen wir
in dieser Gleichung v = [Formel 15] = 0,7854, Sin v = Cos v = 0,7071 und Cos3 v = 0,3535, so wird
W S = z' = b [Formel 16] Weil ferner W R = B C oder W S + S R = B A + A C
ist, so findet man die Erhöhung der Stützlinie im Scheitel über der Mittellinie des Gewölbes
B A = W S + S R -- A C = b [Formel 17] + b . Cos 45 -- b = b [Formel 18]
Die Elypse wird zu einem Kreise, wenn b = a oder e = o ist, in diesem Falle stimmt die Erhö-
hung B A mit der überein, die wir für den Kreis gefunden haben. Setzen wir für die Elypse
b = [Formel 19] a, so ist [Formel 20] und B A = 0,036 . a. Diese Erhöhung war beim Kreise = 0,041 . a, folg-

Stützlinie für das elyptische Gewölbe.
zum senkrechten, wie sich a : b verhält, wo mit a die halbe grössere Achse oder die
halbe Spannweite, und mit b die halbe kleinere Achse oder die Höhe des Gewölbes in
der Mitte bezeichnet wird.

Fig.
3.
Tab.
19.Setzen wir itzt die Coordinaten der Stützlinie B Q = x und Q N = z, so ist [Formel 1] . Weil aber
x = B Q = M P = a . Sin v, so ist d x = a . d v . Cos v sonach [Formel 2]
Für den Punkt S ist allgemein für den Kreis t R = a . Cos v', folglich in der Elypse S R = b . Cos v'
und C R = a . Sin v', mithin [Formel 3] tang v'; weil aber für den Punkt
S, v' = 45° so ist [Formel 4] Werden nun diese Werthe in die obige Proportion
gesetzt, so erhalten wir s. δ : β . δ = [Formel 5] , hieraus folgt d z = [Formel 6] Um
diese Gleichung zu integriren, muss der Bogen s durch eine Funktion von v, und auf gleiche Art auch β
durch eine Funktion des Bogens von 45 Graden ausgedrückt werden. Hiezu dient die allgemeine
Gleichung für die Punkte M in der Elypse, für welche die Abscisse x = P M = H J = a . Sin v und
die Ordinate y = G M = b . Cos v, woraus folgt d s2 = d x2 + d y2 = (a . d v . Cos v)2 + (b . d v . Sin v)2,
folglich d s = d v √ (a2 . Cos2 v + b2 . Sin2 v). Setzen wir nun das Quadrat der Excentricität
e2 = a2 — b2, folglich b2 = a2 — e2, so ist d s = a . d v [Formel 7]
beinahe. Wird diese Gleichung integrirt, so ist s = a . v — [Formel 8] (v — Sin v . Cos v); für den Win-
kel von 45 Grad ist v = [Formel 9] und Sin v . Cos v = ½, also der Bogen
[Formel 10] Werden diese Werthe in die obige Gleichung gesetzt, so er-
halten wir : [Formel 11] b . d v . Cos v (v — Sin v. Cos v).
Wird diese Gleichung integrirt, so erhalten wir:
[Formel 12] Mit dem Coefficienten von z dividirt und die vierten Potenzen von [Formel 13] vernachlässigt, gibt
[Formel 14] Setzen wir
in dieser Gleichung v = [Formel 15] = 0,7854, Sin v = Cos v = 0,7071 und Cos3 v = 0,3535, so wird
W S = z' = b [Formel 16] Weil ferner W R = B C oder W S + S R = B A + A C
ist, so findet man die Erhöhung der Stützlinie im Scheitel über der Mittellinie des Gewölbes
B A = W S + S R — A C = b [Formel 17] + b . Cos 45 — b = b [Formel 18]
Die Elypse wird zu einem Kreise, wenn b = a oder e = o ist, in diesem Falle stimmt die Erhö-
hung B A mit der überein, die wir für den Kreis gefunden haben. Setzen wir für die Elypse
b = [Formel 19] a, so ist [Formel 20] und B A = 0,036 . a. Diese Erhöhung war beim Kreise = 0,041 . a, folg-
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[422/0452] Stützlinie für das elyptische Gewölbe. zum senkrechten, wie sich a : b verhält, wo mit a die halbe grössere Achse oder die halbe Spannweite, und mit b die halbe kleinere Achse oder die Höhe des Gewölbes in der Mitte bezeichnet wird. *) *) Setzen wir itzt die Coordinaten der Stützlinie B Q = x und Q N = z, so ist [FORMEL]. Weil aber x = B Q = M P = a . Sin v, so ist d x = a . d v . Cos v sonach [FORMEL] Für den Punkt S ist allgemein für den Kreis t R = a . Cos v', folglich in der Elypse S R = b . Cos v' und C R = a . Sin v', mithin [FORMEL] tang v'; weil aber für den Punkt S, v' = 45° so ist [FORMEL] Werden nun diese Werthe in die obige Proportion gesetzt, so erhalten wir s. δ : β . δ = [FORMEL], hieraus folgt d z = [FORMEL] Um diese Gleichung zu integriren, muss der Bogen s durch eine Funktion von v, und auf gleiche Art auch β durch eine Funktion des Bogens von 45 Graden ausgedrückt werden. Hiezu dient die allgemeine Gleichung für die Punkte M in der Elypse, für welche die Abscisse x = P M = H J = a . Sin v und die Ordinate y = G M = b . Cos v, woraus folgt d s2 = d x2 + d y2 = (a . d v . Cos v)2 + (b . d v . Sin v)2, folglich d s = d v √ (a2 . Cos2 v + b2 . Sin2 v). Setzen wir nun das Quadrat der Excentricität e2 = a2 — b2, folglich b2 = a2 — e2, so ist d s = a . d v [FORMEL] beinahe. Wird diese Gleichung integrirt, so ist s = a . v — [FORMEL] (v — Sin v . Cos v); für den Win- kel von 45 Grad ist v = [FORMEL] und Sin v . Cos v = ½, also der Bogen [FORMEL] Werden diese Werthe in die obige Gleichung gesetzt, so er- halten wir : [FORMEL] b . d v . Cos v (v — Sin v. Cos v). Wird diese Gleichung integrirt, so erhalten wir: [FORMEL] Mit dem Coefficienten von z dividirt und die vierten Potenzen von [FORMEL] vernachlässigt, gibt [FORMEL] Setzen wir in dieser Gleichung v = [FORMEL] = 0,7854, Sin v = Cos v = 0,7071 und Cos3 v = 0,3535, so wird W S = z' = b [FORMEL] Weil ferner W R = B C oder W S + S R = B A + A C ist, so findet man die Erhöhung der Stützlinie im Scheitel über der Mittellinie des Gewölbes B A = W S + S R — A C = b [FORMEL] + b . Cos 45 — b = b [FORMEL] Die Elypse wird zu einem Kreise, wenn b = a oder e = o ist, in diesem Falle stimmt die Erhö- hung B A mit der überein, die wir für den Kreis gefunden haben. Setzen wir für die Elypse b = [FORMEL] a, so ist [FORMEL] und B A = 0,036 . a. Diese Erhöhung war beim Kreise = 0,041 . a, folg-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 422. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/452>, abgerufen am 22.11.2024.