Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Relative Festigkeit der Körper. Man findet nämlich das Tragungsvermögen eines Cylinders 33/56tel oder beinahe 0,6tel che n N M m angibt, wo keine Constante beizusetzen ist, weil für ph = 0 zugleich die Summe derFig.
13. Tab. 15. Cohaesionsmomente verschwindet. Für die Fläche n F m ist ph der 4te Theil der Peripherie oder [Formel 1] , wenn p = 3,14159 ... = [Formel 2] , und daher die Summe der Cohaesionsmomente für den obern halben Querschnitt [Formel 3] . Die Summe der Repulsionsmomente für den untern halben Querschnitt hat dieselbe Grösse, weil für jeden Querschnitt nur dann Ruhe oder Gleichgewicht statt finden kann, wenn die Momente der Ausdehnung über der unveränderlichen Linie n o m den Momenten der Zusammendrückung unter der- selben Linie n o m gleich werden. Nach §. 287 ist die Summe aus den Cohaesionsmomenten und Repulsionsmomenten zusammen- genommen, oder [Formel 4] eben so gross, als das Moment des getragenen Gewichtes Q. B E, oder weil die Biegung dort am stärksten ist, wo das Moment von Q am grössten wird, so gibt diess das Moment Q. B C = Q. 1, wenn die Länge des Balkens mit l bezeichnet wird. Wir er- halten daher für einen elyptischen Körper, dessen grosse Achse horizontal liegt, die Glei- chung [Formel 5] . Liegt dagegen bei diesem Körper die kleine Achse hori- zontal, so ist [Formel 6] . Ist endlich der Körper ein Cylinder, demnach sein Querschnitt ein Kreis, wo a = b, so ist [Formel 7] . Für ein Parallelopipedum ist die Breite des Elementes N p M = n o m constant. Setzen wir diese = B und o p = x, also N M e c = B. d x und die halbe Höhe des Parallelopipedes F o = h, so ist auf gleiche Art der Cohaesionswiderstand dieses Elementes [Formel 8] . B. d x und sein Moment [Formel 9] , folglich dessen Integrale [Formel 10] . Nehmen wir in diesem Ausdrucke x = h, so ist die Summe der Cohaesionsmomente [Formel 11] , und daher auf gleiche Art, wie oben, [Formel 12] . Vergleicht man nun das Tragungsvermögen eines Cylinders mit jenem eines Parallelopipedes, dessen Querschnitt ein um die Kreisfläche des Cylinders beschriebenes Quadrat ist, wo also B = 2 a und h = a wird, so erhält man [Formel 13] . Nennen wir P das Gewicht, welches bei dem so eben betrachteten Parallelopipedum dieselbe Ausdehnung erzeugen würde, wenn es nach der Länge der Cohaesionsfäden wirkte, so würde man nach den Grundsätzen der absoluten Festigkeit bei seiner Querschnittsfläche B. 2 h = B. H die Gleichung [Formel 14] finden. Es verhält sich also [Formel 15] , oder es ist [Formel 16] , d. h. die relative Festigkeit eines Parallelo pipedes ist dem Produkte aus dem sechsten Theile seiner absoluten Festigkeit in das Ver- hältniss [Formel 17] gleich. Ferner ist bei einem Parallelopipede die absolute Festigkeit eben so gross als die relative, wenn seine Höhe der sechsfachen Länge gleich kommt. Relative Festigkeit der Körper. Man findet nämlich das Tragungsvermögen eines Cylinders 33/56tel oder beinahe 0,6tel che n N M m angibt, wo keine Constante beizusetzen ist, weil für φ = 0 zugleich die Summe derFig.
13. Tab. 15. Cohaesionsmomente verschwindet. Für die Fläche n F m ist φ der 4te Theil der Peripherie oder [Formel 1] , wenn π = 3,14159 … = [Formel 2] , und daher die Summe der Cohaesionsmomente für den obern halben Querschnitt [Formel 3] . Die Summe der Repulsionsmomente für den untern halben Querschnitt hat dieselbe Grösse, weil für jeden Querschnitt nur dann Ruhe oder Gleichgewicht statt finden kann, wenn die Momente der Ausdehnung über der unveränderlichen Linie n o m den Momenten der Zusammendrückung unter der- selben Linie n o m gleich werden. Nach §. 287 ist die Summe aus den Cohaesionsmomenten und Repulsionsmomenten zusammen- genommen, oder [Formel 4] eben so gross, als das Moment des getragenen Gewichtes Q. B E, oder weil die Biegung dort am stärksten ist, wo das Moment von Q am grössten wird, so gibt diess das Moment Q. B C = Q. 1, wenn die Länge des Balkens mit l bezeichnet wird. Wir er- halten daher für einen elyptischen Körper, dessen grosse Achse horizontal liegt, die Glei- chung [Formel 5] . Liegt dagegen bei diesem Körper die kleine Achse hori- zontal, so ist [Formel 6] . Ist endlich der Körper ein Cylinder, demnach sein Querschnitt ein Kreis, wo a = b, so ist [Formel 7] . Für ein Parallelopipedum ist die Breite des Elementes N p M = n o m constant. Setzen wir diese = B und o p = x, also N M e c = B. d x und die halbe Höhe des Parallelopipedes F o = h, so ist auf gleiche Art der Cohaesionswiderstand dieses Elementes [Formel 8] . B. d x und sein Moment [Formel 9] , folglich dessen Integrale [Formel 10] . Nehmen wir in diesem Ausdrucke x = h, so ist die Summe der Cohaesionsmomente [Formel 11] , und daher auf gleiche Art, wie oben, [Formel 12] . Vergleicht man nun das Tragungsvermögen eines Cylinders mit jenem eines Parallelopipedes, dessen Querschnitt ein um die Kreisfläche des Cylinders beschriebenes Quadrat ist, wo also B = 2 a und h = a wird, so erhält man [Formel 13] . Nennen wir P das Gewicht, welches bei dem so eben betrachteten Parallelopipedum dieselbe Ausdehnung erzeugen würde, wenn es nach der Länge der Cohaesionsfäden wirkte, so würde man nach den Grundsätzen der absoluten Festigkeit bei seiner Querschnittsfläche B. 2 h = B. H die Gleichung [Formel 14] finden. Es verhält sich also [Formel 15] , oder es ist [Formel 16] , d. h. die relative Festigkeit eines Parallelo pipedes ist dem Produkte aus dem sechsten Theile seiner absoluten Festigkeit in das Ver- hältniss [Formel 17] gleich. 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Relative Festigkeit der Körper.
Man findet nämlich das Tragungsvermögen eines Cylinders 33/56tel oder beinahe 0,6tel
von dem Tragungsvermögen eines Parallelopipedes, dessen Querschnitt ein, der Kreis-
fläche des Cylinders umgeschriebenes Quadrat ist, oder dessen Breite und Höhe dem
Durchmesser des Cylinders gleich sind.
*)
*) che n N M m angibt, wo keine Constante beizusetzen ist, weil für φ = 0 zugleich die Summe der
Cohaesionsmomente verschwindet.
Für die Fläche n F m ist φ der 4te Theil der Peripherie oder [FORMEL], wenn π = 3,14159 … = [FORMEL],
und daher die Summe der Cohaesionsmomente für den obern halben Querschnitt [FORMEL].
Die Summe der Repulsionsmomente für den untern halben Querschnitt hat dieselbe Grösse, weil
für jeden Querschnitt nur dann Ruhe oder Gleichgewicht statt finden kann, wenn die Momente der
Ausdehnung über der unveränderlichen Linie n o m den Momenten der Zusammendrückung unter der-
selben Linie n o m gleich werden.
Nach §. 287 ist die Summe aus den Cohaesionsmomenten und Repulsionsmomenten zusammen-
genommen, oder [FORMEL] eben so gross, als das Moment des getragenen Gewichtes
Q. B E, oder weil die Biegung dort am stärksten ist, wo das Moment von Q am grössten wird, so
gibt diess das Moment Q. B C = Q. 1, wenn die Länge des Balkens mit l bezeichnet wird. Wir er-
halten daher für einen elyptischen Körper, dessen grosse Achse horizontal liegt, die Glei-
chung [FORMEL]. Liegt dagegen bei diesem Körper die kleine Achse hori-
zontal, so ist [FORMEL]. Ist endlich der Körper ein Cylinder, demnach
sein Querschnitt ein Kreis, wo a = b, so ist [FORMEL].
Für ein Parallelopipedum ist die Breite des Elementes N p M = n o m constant. Setzen wir
diese = B und o p = x, also N M e c = B. d x und die halbe Höhe des Parallelopipedes F o = h, so ist
auf gleiche Art der Cohaesionswiderstand dieses Elementes [FORMEL]. B. d x und sein Moment
[FORMEL], folglich dessen Integrale [FORMEL]. Nehmen wir in diesem Ausdrucke
x = h, so ist die Summe der Cohaesionsmomente [FORMEL], und daher auf gleiche Art,
wie oben, [FORMEL].
Vergleicht man nun das Tragungsvermögen eines Cylinders mit jenem eines Parallelopipedes,
dessen Querschnitt ein um die Kreisfläche des Cylinders beschriebenes Quadrat ist, wo also B = 2 a
und h = a wird, so erhält man [FORMEL].
Nennen wir P das Gewicht, welches bei dem so eben betrachteten Parallelopipedum dieselbe
Ausdehnung erzeugen würde, wenn es nach der Länge der Cohaesionsfäden wirkte, so würde
man nach den Grundsätzen der absoluten Festigkeit bei seiner Querschnittsfläche B. 2 h = B. H
die Gleichung [FORMEL] finden. Es verhält sich also [FORMEL], oder es ist
[FORMEL], d. h. die relative Festigkeit eines Parallelo pipedes ist dem
Produkte aus dem sechsten Theile seiner absoluten Festigkeit in das Ver-
hältniss [FORMEL] gleich. Ferner ist bei einem Parallelopipede die absolute Festigkeit eben so gross
als die relative, wenn seine Höhe der sechsfachen Länge gleich kommt.
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