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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.
Fig.
12.
Tab.
14.der Betrachtungen wollen wir die Höhen F E = H und f e = h in eine beliebige
aber gleiche Anzahl z. B. 100 Theile theilen, jede solche Schichte M O, m o in der Brei-
te des Balkens ein Band nennen, und nach und nach die Spannungen dieser über ein-
ander liegenden Bänder, die den Balken bilden, mit einander vergleichen. -- Nehmen
wir an, das oberste Cohaesionsband bei A B müsse für die Länge E J um die Grösse
F D ausgedehnt werden, um eine bestimmte Spannung zu erhalten, oder zu zerreissen;
so muss auch bei dem Balken a b das oberste Cohaesionsband, um dieselbe Spannung
zu erhalten, für dieselbe Länge e j (= E J) um eben so viel ausgedehnt werden, d. i.
es muss f d = F D seyn, weil gleichartige und gleich lange materielle Fäden bei
gleichen Spannungen nothwendig gleich viel sich ausdehnen müssen.

Betrachten wir nun die Bänder M P und m p, welche beide z. B. das 60te Band
seyn sollen, so hat man offenbar für den grossen Balken
F D : M N = F E : M E = 100 : 60, und für den kleinern Balken
f d : m n = f e : m e = 100 : 60.

Da in den beiden Proportionen die zweiten Verhältnisse gleich sind, so müssen es
auch die ersten seyn, daher ist F D : M N = f d : m n.

Nun ist aber F D = f d, also auch M N = m n, d. h. diejenigen Bänder,
welche von den Umdrehungspunkten E und e auf proportionalen
Entfernungen E M und em liegen, sind gleichviel ausgedehnt; oder
ihre Cohaesionsfäden haben eine gleiche Spannung.

Bezeichnen also S, s die Widerstandskräfte dieser Bänder, und B, b die Breiten der
zwei Balken, so müssen sich die erstern nach §. 238 wie ihre Querschnittsflächen verhal-
ten, d. i. es muss S : s = M O x B : m o x b = [Formel 1] x B : [Formel 2] x b oder S : s = B . H : b . h
seyn (I).

Um diese Spannungen S und s zu erzeugen, muss offenbar von dem Gewichte Q oder
q ein Theil X oder x hiezu verwendet werden. Soll nun unter den zusammengehöri-
gen Kräften Gleichgewicht statt finden, so müssen, da sie an einem Winkelhebel M E G'
und m e g', dessen Umdrehungspunkt E und e ist, wirken, die statischen Momente gleich
seyn, d. i.

S . M E = X . G' E oder S . [Formel 3] = X . G' E ..... (II),
und s . m e = x . g' e oder s . [Formel 4] = x . g' e ..... (III).

Diese Gleichungen geben zugleich zu erkennen, dass, da das Moment der Kraft X,
also auch die Wirkung derselben mit dem Hebelsarme G' E wächst, der Balken dort
die grösste Spannung erfährt, wo der Hebelsarm am grössten ist, d. i. also am Befe-
stigungspunkte C, wo auch der Balken bricht. Da hier eine geringe Biegung ange-
nommen wird, folglich die Hebelsarme C H und c h beinahe den Längen der Balken
L = C B und l = c b gleich sind, so sind die Gleichungen (II) und (III)
S . [Formel 5] = X . L ...... (IV) und
s . [Formel 6] = x . l ...... (V).

Relative Festigkeit der Körper.
Fig.
12.
Tab.
14.der Betrachtungen wollen wir die Höhen F E = H und f e = h in eine beliebige
aber gleiche Anzahl z. B. 100 Theile theilen, jede solche Schichte M O, m o in der Brei-
te des Balkens ein Band nennen, und nach und nach die Spannungen dieser über ein-
ander liegenden Bänder, die den Balken bilden, mit einander vergleichen. — Nehmen
wir an, das oberste Cohaesionsband bei A B müsse für die Länge E J um die Grösse
F D ausgedehnt werden, um eine bestimmte Spannung zu erhalten, oder zu zerreissen;
so muss auch bei dem Balken a b das oberste Cohaesionsband, um dieselbe Spannung
zu erhalten, für dieselbe Länge e j (= E J) um eben so viel ausgedehnt werden, d. i.
es muss f d = F D seyn, weil gleichartige und gleich lange materielle Fäden bei
gleichen Spannungen nothwendig gleich viel sich ausdehnen müssen.

Betrachten wir nun die Bänder M P und m p, welche beide z. B. das 60te Band
seyn sollen, so hat man offenbar für den grossen Balken
F D : M N = F E : M E = 100 : 60, und für den kleinern Balken
f d : m n = f e : m e = 100 : 60.

Da in den beiden Proportionen die zweiten Verhältnisse gleich sind, so müssen es
auch die ersten seyn, daher ist F D : M N = f d : m n.

Nun ist aber F D = f d, also auch M N = m n, d. h. diejenigen Bänder,
welche von den Umdrehungspunkten E und e auf proportionalen
Entfernungen E M und em liegen, sind gleichviel ausgedehnt; oder
ihre Cohaesionsfäden haben eine gleiche Spannung.

Bezeichnen also S, s die Widerstandskräfte dieser Bänder, und B, b die Breiten der
zwei Balken, so müssen sich die erstern nach §. 238 wie ihre Querschnittsflächen verhal-
ten, d. i. es muss S : s = M O × B : m o × b = [Formel 1] × B : [Formel 2] × b oder S : s = B . H : b . h
seyn (I).

Um diese Spannungen S und s zu erzeugen, muss offenbar von dem Gewichte Q oder
q ein Theil X oder x hiezu verwendet werden. Soll nun unter den zusammengehöri-
gen Kräften Gleichgewicht statt finden, so müssen, da sie an einem Winkelhebel M E G'
und m e g', dessen Umdrehungspunkt E und e ist, wirken, die statischen Momente gleich
seyn, d. i.

S . M E = X . G' E oder S . [Formel 3] = X . G' E ..... (II),
und s . m e = x . g' e oder s . [Formel 4] = x . g' e ..... (III).

Diese Gleichungen geben zugleich zu erkennen, dass, da das Moment der Kraft X,
also auch die Wirkung derselben mit dem Hebelsarme G' E wächst, der Balken dort
die grösste Spannung erfährt, wo der Hebelsarm am grössten ist, d. i. also am Befe-
stigungspunkte C, wo auch der Balken bricht. Da hier eine geringe Biegung ange-
nommen wird, folglich die Hebelsarme C H und c h beinahe den Längen der Balken
L = C B und l = c b gleich sind, so sind die Gleichungen (II) und (III)
S . [Formel 5] = X . L ...... (IV) und
s . [Formel 6] = x . l ...... (V).

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[292/0322] Relative Festigkeit der Körper. der Betrachtungen wollen wir die Höhen F E = H und f e = h in eine beliebige aber gleiche Anzahl z. B. 100 Theile theilen, jede solche Schichte M O, m o in der Brei- te des Balkens ein Band nennen, und nach und nach die Spannungen dieser über ein- ander liegenden Bänder, die den Balken bilden, mit einander vergleichen. — Nehmen wir an, das oberste Cohaesionsband bei A B müsse für die Länge E J um die Grösse F D ausgedehnt werden, um eine bestimmte Spannung zu erhalten, oder zu zerreissen; so muss auch bei dem Balken a b das oberste Cohaesionsband, um dieselbe Spannung zu erhalten, für dieselbe Länge e j (= E J) um eben so viel ausgedehnt werden, d. i. es muss f d = F D seyn, weil gleichartige und gleich lange materielle Fäden bei gleichen Spannungen nothwendig gleich viel sich ausdehnen müssen. Fig. 12. Tab. 14. Betrachten wir nun die Bänder M P und m p, welche beide z. B. das 60te Band seyn sollen, so hat man offenbar für den grossen Balken F D : M N = F E : M E = 100 : 60, und für den kleinern Balken f d : m n = f e : m e = 100 : 60. Da in den beiden Proportionen die zweiten Verhältnisse gleich sind, so müssen es auch die ersten seyn, daher ist F D : M N = f d : m n. Nun ist aber F D = f d, also auch M N = m n, d. h. diejenigen Bänder, welche von den Umdrehungspunkten E und e auf proportionalen Entfernungen E M und em liegen, sind gleichviel ausgedehnt; oder ihre Cohaesionsfäden haben eine gleiche Spannung. Bezeichnen also S, s die Widerstandskräfte dieser Bänder, und B, b die Breiten der zwei Balken, so müssen sich die erstern nach §. 238 wie ihre Querschnittsflächen verhal- ten, d. i. es muss S : s = M O × B : m o × b = [FORMEL] × B : [FORMEL] × b oder S : s = B . H : b . h seyn (I). Um diese Spannungen S und s zu erzeugen, muss offenbar von dem Gewichte Q oder q ein Theil X oder x hiezu verwendet werden. Soll nun unter den zusammengehöri- gen Kräften Gleichgewicht statt finden, so müssen, da sie an einem Winkelhebel M E G' und m e g', dessen Umdrehungspunkt E und e ist, wirken, die statischen Momente gleich seyn, d. i. S . M E = X . G' E oder S . [FORMEL] = X . G' E ..... (II), und s . m e = x . g' e oder s . [FORMEL] = x . g' e ..... (III). Diese Gleichungen geben zugleich zu erkennen, dass, da das Moment der Kraft X, also auch die Wirkung derselben mit dem Hebelsarme G' E wächst, der Balken dort die grösste Spannung erfährt, wo der Hebelsarm am grössten ist, d. i. also am Befe- stigungspunkte C, wo auch der Balken bricht. Da hier eine geringe Biegung ange- nommen wird, folglich die Hebelsarme C H und c h beinahe den Längen der Balken L = C B und l = c b gleich sind, so sind die Gleichungen (II) und (III) S . [FORMEL] = X . L ...... (IV) und s . [FORMEL] = x . l ...... (V).

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 292. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/322>, abgerufen am 28.11.2024.