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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Gesetze für die Festigkeit des Eisens.
§. 261.

Wir wollen nunmehr sehen, welches der grösste Werth für p sey, d. h.
bei welchem Gewichte das Zerreissen des Drahtes erfolgt, und wie viel die grösste Aus-
dehnung desselben betrage.

Um diess auf eine allgemeine Art zu finden, wollen wir wieder auf die allgemeine
Gleichung p = A . e -- B . e2 = B . e [Formel 1] zurückgehen. *)

Beschreiben wir auf dem Durchmesser [Formel 4] = A D einen Kreis, und schneiden hievonFig.
2.
Tab.
1.
das Stück A B = e ab, so ist E B2 = e [Formel 5] ; und E B wird am grössten, wenn
[Formel 6] -- e = e, folglich e = [Formel 7] ist. Setzen wir diesen Werth = E, so ist E = [Formel 8] (II).

Hieraus folgt B = [Formel 9] , und diess in I substituirt, gibt die allgemeine Gleichung
p = A . e -- [Formel 10] . e2 (III).

Setzt man in diesem Ausdrucke E statt e, so ergibt sich das Maximum von p, wel-
ches wir wieder P nennen wollen, P = A . E -- [Formel 11] . E = [Formel 12] oder A = [Formel 13] (IV).

Wird diess endlich in die allgemeine Gleichung III substituirt, so ist
p = 2 P . [Formel 14] -- P . [Formel 15] oder [Formel 16] (V).

Dieser Ausdruck enthält die allgemeine Gleichung, welche zwischen dem grössten
Gewichte (P), welches ein Draht tragen kann, der grössten hiedurch bewirkten Ausdeh-
nung E, der zufälligen Belastung p und der hiedurch bewirkten Ausdehnung e statt fin-
det. Hieraus folgt:

1tens. Setzt man e = E, so wird auch p = P, wie es der Bedingniss der Aufgabe
gemäss ist.
2tens. Das Eisen bleibt vollkommen elastisch, d. h. die Ausdehnung e ist dem p
proportional, so lange [Formel 17] sehr klein ist. In diesem Falle haben wir nämlich
[Formel 18] , woraus die Proportion p : P = e : [Formel 19] folgt, wo also p dem e pro-
portional ist. Dieser Satz, dass die von kleinen Gewichten bewirkten Ausdehnun-
gen den Lasten proportional sind, erscheint bereits in allen physikalischen Schriften.
3tens. Wenn aber die Ausdehnung grösser ist, oder das Eisen mehr gespannt wird, so
zeigt der obige Ausdruck die jedesmalige Ausdehnung an, welche der Spannkraft
das Gleichgewicht hält. Wenn man nämlich in der Gleichung V die Zeichen ändert, und
*) Man findet in dem Ausdrucke p = A . e -- B . e2 das Maximum, wenn man denselben in Hinsicht
auf p und e differenzirt und den Differenzialkoefficienten = 0 setzt. Demnach ist
[Formel 2] = A -- 2 B . e = 0, woraus für das grösste p der Werth e = [Formel 3] folgt.
Gerstner's Mechanik. Band I. 34
Gesetze für die Festigkeit des Eisens.
§. 261.

Wir wollen nunmehr sehen, welches der grösste Werth für p sey, d. h.
bei welchem Gewichte das Zerreissen des Drahtes erfolgt, und wie viel die grösste Aus-
dehnung desselben betrage.

Um diess auf eine allgemeine Art zu finden, wollen wir wieder auf die allgemeine
Gleichung p = A . e — B . e2 = B . e [Formel 1] zurückgehen. *)

Beschreiben wir auf dem Durchmesser [Formel 4] = A D einen Kreis, und schneiden hievonFig.
2.
Tab.
1.
das Stück A B = e ab, so ist E B2 = e [Formel 5] ; und E B wird am grössten, wenn
[Formel 6] — e = e, folglich e = [Formel 7] ist. Setzen wir diesen Werth = E, so ist E = [Formel 8] (II).

Hieraus folgt B = [Formel 9] , und diess in I substituirt, gibt die allgemeine Gleichung
p = A . e — [Formel 10] . e2 (III).

Setzt man in diesem Ausdrucke E statt e, so ergibt sich das Maximum von p, wel-
ches wir wieder P nennen wollen, P = A . E — [Formel 11] . E = [Formel 12] oder A = [Formel 13] (IV).

Wird diess endlich in die allgemeine Gleichung III substituirt, so ist
p = 2 P . [Formel 14] — P . [Formel 15] oder [Formel 16] (V).

Dieser Ausdruck enthält die allgemeine Gleichung, welche zwischen dem grössten
Gewichte (P), welches ein Draht tragen kann, der grössten hiedurch bewirkten Ausdeh-
nung E, der zufälligen Belastung p und der hiedurch bewirkten Ausdehnung e statt fin-
det. Hieraus folgt:

1tens. Setzt man e = E, so wird auch p = P, wie es der Bedingniss der Aufgabe
gemäss ist.
2tens. Das Eisen bleibt vollkommen elastisch, d. h. die Ausdehnung e ist dem p
proportional, so lange [Formel 17] sehr klein ist. In diesem Falle haben wir nämlich
[Formel 18] , woraus die Proportion p : P = e : [Formel 19] folgt, wo also p dem e pro-
portional ist. Dieser Satz, dass die von kleinen Gewichten bewirkten Ausdehnun-
gen den Lasten proportional sind, erscheint bereits in allen physikalischen Schriften.
3tens. Wenn aber die Ausdehnung grösser ist, oder das Eisen mehr gespannt wird, so
zeigt der obige Ausdruck die jedesmalige Ausdehnung an, welche der Spannkraft
das Gleichgewicht hält. Wenn man nämlich in der Gleichung V die Zeichen ändert, und
*) Man findet in dem Ausdrucke p = A . e — B . e2 das Maximum, wenn man denselben in Hinsicht
auf p und e differenzirt und den Differenzialkoefficienten = 0 setzt. Demnach ist
[Formel 2] = A — 2 B . e = 0, woraus für das grösste p der Werth e = [Formel 3] folgt.
Gerstner’s Mechanik. Band I. 34
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[265/0295] Gesetze für die Festigkeit des Eisens. §. 261. Wir wollen nunmehr sehen, welches der grösste Werth für p sey, d. h. bei welchem Gewichte das Zerreissen des Drahtes erfolgt, und wie viel die grösste Aus- dehnung desselben betrage. Um diess auf eine allgemeine Art zu finden, wollen wir wieder auf die allgemeine Gleichung p = A . e — B . e2 = B . e [FORMEL] zurückgehen. *) Beschreiben wir auf dem Durchmesser [FORMEL] = A D einen Kreis, und schneiden hievon das Stück A B = e ab, so ist E B2 = e [FORMEL]; und E B wird am grössten, wenn [FORMEL] — e = e, folglich e = [FORMEL] ist. Setzen wir diesen Werth = E, so ist E = [FORMEL] (II). Fig. 2. Tab. 1. Hieraus folgt B = [FORMEL], und diess in I substituirt, gibt die allgemeine Gleichung p = A . e — [FORMEL] . e2 (III). Setzt man in diesem Ausdrucke E statt e, so ergibt sich das Maximum von p, wel- ches wir wieder P nennen wollen, P = A . E — [FORMEL] . E = [FORMEL] oder A = [FORMEL] (IV). Wird diess endlich in die allgemeine Gleichung III substituirt, so ist p = 2 P . [FORMEL] — P . [FORMEL] oder [FORMEL] (V). Dieser Ausdruck enthält die allgemeine Gleichung, welche zwischen dem grössten Gewichte (P), welches ein Draht tragen kann, der grössten hiedurch bewirkten Ausdeh- nung E, der zufälligen Belastung p und der hiedurch bewirkten Ausdehnung e statt fin- det. Hieraus folgt: 1tens. Setzt man e = E, so wird auch p = P, wie es der Bedingniss der Aufgabe gemäss ist. 2tens. Das Eisen bleibt vollkommen elastisch, d. h. die Ausdehnung e ist dem p proportional, so lange [FORMEL] sehr klein ist. In diesem Falle haben wir nämlich [FORMEL], woraus die Proportion p : P = e : [FORMEL] folgt, wo also p dem e pro- portional ist. Dieser Satz, dass die von kleinen Gewichten bewirkten Ausdehnun- gen den Lasten proportional sind, erscheint bereits in allen physikalischen Schriften. 3tens. Wenn aber die Ausdehnung grösser ist, oder das Eisen mehr gespannt wird, so zeigt der obige Ausdruck die jedesmalige Ausdehnung an, welche der Spannkraft das Gleichgewicht hält. Wenn man nämlich in der Gleichung V die Zeichen ändert, und *) Man findet in dem Ausdrucke p = A . e — B . e2 das Maximum, wenn man denselben in Hinsicht auf p und e differenzirt und den Differenzialkoefficienten = 0 setzt. Demnach ist [FORMEL] = A — 2 B . e = 0, woraus für das grösste p der Werth e = [FORMEL] folgt. Gerstner’s Mechanik. Band I. 34

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 265. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/295>, abgerufen am 18.11.2024.