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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Schwerpunkt.

Da ein Kegel als eine Pyramide von unendlich vielen Seiten angesehen werden
kann, so findet man nach derselben Methode auch den Schwerpunkt eines Kegels.

§. 79.

Wenn mehrere Körper mit einander in einer festen Verbindung
sind, so lässt sich der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller dieser Körper auf dieselbe
Art, wie §. 69. finden; nur ist hier zu bemerken, dass, so wie zur Bestimmung der Stel-
lung aller dieser Körper drei Flächen angenommen werden müssen und die Entfernung
eines jeden Körpers von diesen drei Flächen gegeben seyn muss, auf dieselbe Art auch
die Entfernung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes dieser Körper von jeder dieser drei
Flächen bestimmt wird. Man multiplicirt nämlich das Gewicht eines jeden Körpers mit
seiner Entfernung von der Fläche, und dividirt das Produkt mit der Summe der Ge-
wichte aller Körper, der Quozient gibt nun den Abstand des gemeinschaftlichen Schwer-
punktes von der ersten Fläche; eben so erhält man den Abstand des gemeinschaftlichen
Schwerpunktes von der zweiten und auf gleiche Art von der dritten Fläche.

§. 80.

Der Schwerpunkt eines abgestutzten Kegels T wird nach §. 78. gefunden. Es
Fig.
36.
Tab.
1.sey nämlich das Gewicht eines Cub. Fusses = g, c C = a, C O = H, A C = R, D c = r, so
muss das Gewicht des abgestutzten Kegels (k. g) multiplicirt mit der unbekannten Entfer-
nung seines Schwerpunktes (x = C T) + dem Gewichte des fehlenden Kegels (k'. g) multi-
plicirt mit der Entfernung seines Schwerpunktes [Formel 1] = seyn dem Gewichte des gan-
zen Kegels (K. g) multiplicirt abermals mit der Entfernung seines Schwerpunktes [Formel 2] oder
[Formel 3] .

In diesem Ausdrucke lassen sich die Werthe für die Grössen h, H, k, k' und K be-
rechnen, und zwar verhält sich
R -- r:a = r:h woraus [Formel 4] ; ferner ist R -- r:a = R:H und [Formel 5] ;
der Kubikinhalt des ganzen Kegels ist [Formel 6]
der Kubikinhalt des fehlenden Kegelstückes [Formel 7]
der Kubikinhalt des abgestutzten Kegels k = K -- k'.
Wir erhalten daher, wenn alle diese Werthe substituirt werden:
[Formel 8] .
Dividirt man alle Glieder dieser Gleichung durch [Formel 9] , so ist:
[Formel 10] oder
[Formel 11] ,
welches die gesuchte Höhe des Schwerpunktes ist.

Schwerpunkt.

Da ein Kegel als eine Pyramide von unendlich vielen Seiten angesehen werden
kann, so findet man nach derselben Methode auch den Schwerpunkt eines Kegels.

§. 79.

Wenn mehrere Körper mit einander in einer festen Verbindung
sind, so lässt sich der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller dieser Körper auf dieselbe
Art, wie §. 69. finden; nur ist hier zu bemerken, dass, so wie zur Bestimmung der Stel-
lung aller dieser Körper drei Flächen angenommen werden müssen und die Entfernung
eines jeden Körpers von diesen drei Flächen gegeben seyn muss, auf dieselbe Art auch
die Entfernung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes dieser Körper von jeder dieser drei
Flächen bestimmt wird. Man multiplicirt nämlich das Gewicht eines jeden Körpers mit
seiner Entfernung von der Fläche, und dividirt das Produkt mit der Summe der Ge-
wichte aller Körper, der Quozient gibt nun den Abstand des gemeinschaftlichen Schwer-
punktes von der ersten Fläche; eben so erhält man den Abstand des gemeinschaftlichen
Schwerpunktes von der zweiten und auf gleiche Art von der dritten Fläche.

§. 80.

Der Schwerpunkt eines abgestutzten Kegels T wird nach §. 78. gefunden. Es
Fig.
36.
Tab.
1.sey nämlich das Gewicht eines Cub. Fusses = g, c C = a, C O = H, A C = R, D c = r, so
muss das Gewicht des abgestutzten Kegels (k. g) multiplicirt mit der unbekannten Entfer-
nung seines Schwerpunktes (x = C T) + dem Gewichte des fehlenden Kegels (k'. g) multi-
plicirt mit der Entfernung seines Schwerpunktes [Formel 1] = seyn dem Gewichte des gan-
zen Kegels (K. g) multiplicirt abermals mit der Entfernung seines Schwerpunktes [Formel 2] oder
[Formel 3] .

In diesem Ausdrucke lassen sich die Werthe für die Grössen h, H, k, k' und K be-
rechnen, und zwar verhält sich
R — r:a = r:h woraus [Formel 4] ; ferner ist R — r:a = R:H und [Formel 5] ;
der Kubikinhalt des ganzen Kegels ist [Formel 6]
der Kubikinhalt des fehlenden Kegelstückes [Formel 7]
der Kubikinhalt des abgestutzten Kegels k = K — k'.
Wir erhalten daher, wenn alle diese Werthe substituirt werden:
[Formel 8] .
Dividirt man alle Glieder dieser Gleichung durch [Formel 9] , so ist:
[Formel 10] oder
[Formel 11] ,
welches die gesuchte Höhe des Schwerpunktes ist.

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[94/0124] Schwerpunkt. Da ein Kegel als eine Pyramide von unendlich vielen Seiten angesehen werden kann, so findet man nach derselben Methode auch den Schwerpunkt eines Kegels. §. 79. Wenn mehrere Körper mit einander in einer festen Verbindung sind, so lässt sich der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller dieser Körper auf dieselbe Art, wie §. 69. finden; nur ist hier zu bemerken, dass, so wie zur Bestimmung der Stel- lung aller dieser Körper drei Flächen angenommen werden müssen und die Entfernung eines jeden Körpers von diesen drei Flächen gegeben seyn muss, auf dieselbe Art auch die Entfernung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes dieser Körper von jeder dieser drei Flächen bestimmt wird. Man multiplicirt nämlich das Gewicht eines jeden Körpers mit seiner Entfernung von der Fläche, und dividirt das Produkt mit der Summe der Ge- wichte aller Körper, der Quozient gibt nun den Abstand des gemeinschaftlichen Schwer- punktes von der ersten Fläche; eben so erhält man den Abstand des gemeinschaftlichen Schwerpunktes von der zweiten und auf gleiche Art von der dritten Fläche. §. 80. Der Schwerpunkt eines abgestutzten Kegels T wird nach §. 78. gefunden. Es sey nämlich das Gewicht eines Cub. Fusses = g, c C = a, C O = H, A C = R, D c = r, so muss das Gewicht des abgestutzten Kegels (k. g) multiplicirt mit der unbekannten Entfer- nung seines Schwerpunktes (x = C T) + dem Gewichte des fehlenden Kegels (k'. g) multi- plicirt mit der Entfernung seines Schwerpunktes [FORMEL] = seyn dem Gewichte des gan- zen Kegels (K. g) multiplicirt abermals mit der Entfernung seines Schwerpunktes [FORMEL] oder [FORMEL]. Fig. 36. Tab. 1. In diesem Ausdrucke lassen sich die Werthe für die Grössen h, H, k, k' und K be- rechnen, und zwar verhält sich R — r:a = r:h woraus [FORMEL]; ferner ist R — r:a = R:H und [FORMEL]; der Kubikinhalt des ganzen Kegels ist [FORMEL] der Kubikinhalt des fehlenden Kegelstückes [FORMEL] der Kubikinhalt des abgestutzten Kegels k = K — k'. Wir erhalten daher, wenn alle diese Werthe substituirt werden: [FORMEL]. Dividirt man alle Glieder dieser Gleichung durch [FORMEL], so ist: [FORMEL] oder [FORMEL], welches die gesuchte Höhe des Schwerpunktes ist.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 94. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/124>, abgerufen am 18.12.2024.