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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Hebel.
§. 69.

Es seyen P, Q, R, S, T .... schwere Körper, die an einer aufrecht gestellten FlächeFig.
26.
Tab.
1.
so befestigt sind, dass sie bei der Umdrehung der Fläche um einen gemeinschaftlichen
Punkt O ihre wechselseitigen Entfernungen A B, A C, B C, B D ..... nicht ändern können.
Man ziehe in derselben Fläche die wagrechte oder horizontale Linie O e und aus den
Mittelpunkten dieser Körper die senkrechten Linien A a, B b, C c, D d, E e ...., so
wird die Summe der Momente dieser Körper um den Punkt O durch die Summe der Pro-
dukte P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e ..... vorgestellt. Der Schwerpunkt
dieser Körper sey in M, man ziehe durch denselben die senkrechte M m. Da man sich
die Summe aller Körper im Schwerpunkte vereinigt denken kann, so wird auch das Mo-
ment dieses Schwerpunktes der angeführten Summe der einzelnen Momente gleich seyn;
wir haben demnach
(P + Q + R + S + T ....) O m = P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e .....
und hieraus die Entfernung der Linie M m von O oder
[Formel 1] Wenn in der Gleichung
(P + Q + R + S + T ....) O m = P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e ....
die Glieder mit gleichen Faktoren vereinigt, oder die Momente P . O a + Q . O b + R . O c ....
mit negativen Zeichen auf die linke Seite, und eben so die Glieder (S + T ....) O m auf
die rechte Seite der obigen Gleichung gesetzt werden, so erhalten wir:
P(O m -- O a) + Q (O m -- O b) + R (O m -- O c) ... = S (O d -- O m) + T (O e -- O m) ...
oder P . m a + Q . m b + R . m c .... = S . m d + T . m e. ... Wenn wir demnach durch den
Schwerpunkt M eine wagrechte oder auf die Richtung der Zugkräfte winkelrechte Linie
a' M e' ziehen, so ist wegen Gleichheit der Grössen m a = M a', m b = M b', m c = M c' ....
die Summe der Momente der Gewichte von der einen Seite des
Schwerpunktes, der Summe der Momente von der andern Seite
gleich.

Wird die Fläche sammt den daran befestigten Körpern um den vierten Theil der
Peripherie des Kreises gedreht, so werden die Linien g C, e E, m M, a A, d D, b B .... die
paralellen Richtungen der Zugkräfte vorstellen, und wir erhalten aus dem gleichen Grun-
de, wie zuvor
(P + Q + R + S + T ...) O m = P . O a + Q . O b + R . O g + S . O d + T . O e ...,
folglich die senkrechte Entfernung des Schwerpunktes von dem Umdrehungspunkte O oder
[Formel 2] Da sich nun der Schwerpunkt M im Durchschnittspunkte der Linien m M und m M befin-
den muss, so ergibt sich, dass zur Bestimmung des Schwerpunktes mehrerer in einer ge-
meinschaftlichen Fläche befindlichen Körper nur nöthig sey, die Entfernungen des
Schwerpunktes von zwei auf einander winkelrecht gestellten Richtungslinien O m und O m
zu bestimmen, dann durch m eine senkrechte und durch m eine horizontale Linie zu zie-
hen, so gibt der Durchschnitt dieser beiden Linien den gesuchten Schwerpunkt für alle
in Rechnung genommenen Körper.

Hebel.
§. 69.

Es seyen P, Q, R, S, T .... schwere Körper, die an einer aufrecht gestellten FlächeFig.
26.
Tab.
1.
so befestigt sind, dass sie bei der Umdrehung der Fläche um einen gemeinschaftlichen
Punkt O ihre wechselseitigen Entfernungen A B, A C, B C, B D ..... nicht ändern können.
Man ziehe in derselben Fläche die wagrechte oder horizontale Linie O e und aus den
Mittelpunkten dieser Körper die senkrechten Linien A a, B b, C c, D d, E e ...., so
wird die Summe der Momente dieser Körper um den Punkt O durch die Summe der Pro-
dukte P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e ..... vorgestellt. Der Schwerpunkt
dieser Körper sey in M, man ziehe durch denselben die senkrechte M m. Da man sich
die Summe aller Körper im Schwerpunkte vereinigt denken kann, so wird auch das Mo-
ment dieses Schwerpunktes der angeführten Summe der einzelnen Momente gleich seyn;
wir haben demnach
(P + Q + R + S + T ....) O m = P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e .....
und hieraus die Entfernung der Linie M m von O oder
[Formel 1] Wenn in der Gleichung
(P + Q + R + S + T ....) O m = P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e ....
die Glieder mit gleichen Faktoren vereinigt, oder die Momente P . O a + Q . O b + R . O c ....
mit negativen Zeichen auf die linke Seite, und eben so die Glieder (S + T ....) O m auf
die rechte Seite der obigen Gleichung gesetzt werden, so erhalten wir:
P(O m — O a) + Q (O m — O b) + R (O m — O c) … = S (O d — O m) + T (O e — O m) …
oder P . m a + Q . m b + R . m c .... = S . m d + T . m e. … Wenn wir demnach durch den
Schwerpunkt M eine wagrechte oder auf die Richtung der Zugkräfte winkelrechte Linie
a' M e' ziehen, so ist wegen Gleichheit der Grössen m a = M a', m b = M b', m c = M c' ....
die Summe der Momente der Gewichte von der einen Seite des
Schwerpunktes, der Summe der Momente von der andern Seite
gleich.

Wird die Fläche sammt den daran befestigten Körpern um den vierten Theil der
Peripherie des Kreises gedreht, so werden die Linien γ C, ε E, μ M, α A, δ D, β B .... die
paralellen Richtungen der Zugkräfte vorstellen, und wir erhalten aus dem gleichen Grun-
de, wie zuvor
(P + Q + R + S + T …) O μ = P . O α + Q . O β + R . O γ + S . O δ + T . O ε …,
folglich die senkrechte Entfernung des Schwerpunktes von dem Umdrehungspunkte O oder
[Formel 2] Da sich nun der Schwerpunkt M im Durchschnittspunkte der Linien m M und μ M befin-
den muss, so ergibt sich, dass zur Bestimmung des Schwerpunktes mehrerer in einer ge-
meinschaftlichen Fläche befindlichen Körper nur nöthig sey, die Entfernungen des
Schwerpunktes von zwei auf einander winkelrecht gestellten Richtungslinien O m und O μ
zu bestimmen, dann durch m eine senkrechte und durch μ eine horizontale Linie zu zie-
hen, so gibt der Durchschnitt dieser beiden Linien den gesuchten Schwerpunkt für alle
in Rechnung genommenen Körper.

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[85/0115] Hebel. §. 69. Es seyen P, Q, R, S, T .... schwere Körper, die an einer aufrecht gestellten Fläche so befestigt sind, dass sie bei der Umdrehung der Fläche um einen gemeinschaftlichen Punkt O ihre wechselseitigen Entfernungen A B, A C, B C, B D ..... nicht ändern können. Man ziehe in derselben Fläche die wagrechte oder horizontale Linie O e und aus den Mittelpunkten dieser Körper die senkrechten Linien A a, B b, C c, D d, E e ...., so wird die Summe der Momente dieser Körper um den Punkt O durch die Summe der Pro- dukte P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e ..... vorgestellt. Der Schwerpunkt dieser Körper sey in M, man ziehe durch denselben die senkrechte M m. Da man sich die Summe aller Körper im Schwerpunkte vereinigt denken kann, so wird auch das Mo- ment dieses Schwerpunktes der angeführten Summe der einzelnen Momente gleich seyn; wir haben demnach (P + Q + R + S + T ....) O m = P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e ..... und hieraus die Entfernung der Linie M m von O oder [FORMEL] Wenn in der Gleichung (P + Q + R + S + T ....) O m = P . O a + Q . O b + R . O c + S . O d + T . O e .... die Glieder mit gleichen Faktoren vereinigt, oder die Momente P . O a + Q . O b + R . O c .... mit negativen Zeichen auf die linke Seite, und eben so die Glieder (S + T ....) O m auf die rechte Seite der obigen Gleichung gesetzt werden, so erhalten wir: P(O m — O a) + Q (O m — O b) + R (O m — O c) … = S (O d — O m) + T (O e — O m) … oder P . m a + Q . m b + R . m c .... = S . m d + T . m e. … Wenn wir demnach durch den Schwerpunkt M eine wagrechte oder auf die Richtung der Zugkräfte winkelrechte Linie a' M e' ziehen, so ist wegen Gleichheit der Grössen m a = M a', m b = M b', m c = M c' .... die Summe der Momente der Gewichte von der einen Seite des Schwerpunktes, der Summe der Momente von der andern Seite gleich. Fig. 26. Tab. 1. Wird die Fläche sammt den daran befestigten Körpern um den vierten Theil der Peripherie des Kreises gedreht, so werden die Linien γ C, ε E, μ M, α A, δ D, β B .... die paralellen Richtungen der Zugkräfte vorstellen, und wir erhalten aus dem gleichen Grun- de, wie zuvor (P + Q + R + S + T …) O μ = P . O α + Q . O β + R . O γ + S . O δ + T . O ε …, folglich die senkrechte Entfernung des Schwerpunktes von dem Umdrehungspunkte O oder [FORMEL] Da sich nun der Schwerpunkt M im Durchschnittspunkte der Linien m M und μ M befin- den muss, so ergibt sich, dass zur Bestimmung des Schwerpunktes mehrerer in einer ge- meinschaftlichen Fläche befindlichen Körper nur nöthig sey, die Entfernungen des Schwerpunktes von zwei auf einander winkelrecht gestellten Richtungslinien O m und O μ zu bestimmen, dann durch m eine senkrechte und durch μ eine horizontale Linie zu zie- hen, so gibt der Durchschnitt dieser beiden Linien den gesuchten Schwerpunkt für alle in Rechnung genommenen Körper.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 85. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/115>, abgerufen am 18.12.2024.