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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Hebel.
O M = [Formel 1] d. h.
die Entfernung des Schwerpunktes von der gemeinschaftlichen Achse
wird gefunden, wenn die Summe der statischen Momente mit der
Summe der Gewichte derselben Körper dividirt wird. Aus der Gleichung
P . O M + Q . O M + R . O M + S . O M + T . O M =
P . O B + Q . O C + R . O D + S . O E + T . O F
folgt durch zweckmässige Uibersetzung und Vereinigung der Glieder mit gleichen
Faktoren
P . O M -- P . O B + Q . O M -- Q . O C =
R . O D -- R . O M + S . O E -- S . O M + T . O F -- T . O M oder
P . B M + Q . C M = R . D M + S . E M + T . F M
d. h. die statischen Momente der Gewichte um ihren Schwerpunkt
sind von beiden Seiten gleich; so wie es dem Begriffe vom Schwerpunkte
gleichfalls gemäss ist.

§. 68.

Bisher haben wir die Bedingnisse des Gleichgewichtes nur für den Fall angegeben,Fig.
20.
Tab.
1.
wenn die schweren Körper P, Q, R ..... unmittelbar an den Endpunkten ihrer He-
belsarme in A, B, C ..... angebracht sind und sammt ihrem Unterstützungspunkte O
in einer und derselben geraden Linie liegen. Es ist demnach noch nöthig,
Körper, die nicht in einer geraden Linie liegen, zu betrachten und allgemeine Regeln
für ihr Gleichgewicht aufzustellen.

Zu dieser Absicht dient die vorläufige Bemerkung, dass die Regel, welche für das
Gleichgewicht der Körper in einer geraden Linie (§. 66.) angegeben worden, auch noch
in dem Falle statt finde, wenn die Gewichte P, Q, R mittelst Schnüren an die-Fig.
22.
selben Punkte der geraden Linie A O C befestigt werden. Da nämlich alle Punkte einer
Schnur von dem daran hängenden Gewichte überall gleich stark herab gezogen werden, so
ist es offenbar einerlei, ob diese Gewichte an dem untern Ende der Schnur oder oben an
den Punkten A, B, C des geraden Hebels A B C angebracht werden. Da diese Schnüre
aber auch zugleich die Richtung zeigen, nach welcher die Körper von der Schwerkraft
gezogen werden, so gibt uns dieser Umstand noch Anlass zu folgender Betrachtung:

Es befinde sich der Hebel in der schiefen Lage A C; man ziehe durch den Un-
terstützungspunkt O eine horizontale Linie und verlängere die Richtungslinien der
Zugkräfte, bis sie diese horizontale Linie schneiden, so werden die Linien O a, O b und
O c die horizontalen Entfernungen oder die Abstände des Unterstützungspunktes O von
den Richtungen der angebrachten Zugkräfte vorstellen. Die Aehnlichkeit der Dreiecke
B O b und C O c mit A O a gibt die Proportionen:
O A:O B = O a:O b, woraus [Formel 2] und
O A:O C = O a:O c, woraus [Formel 3]
Setzt man diese Werthe in die §. 63. gefundene allgemeine Gleichung P . OA=Q . OB+R . OC,Fig.
17.

11 *

Hebel.
O M = [Formel 1] d. h.
die Entfernung des Schwerpunktes von der gemeinschaftlichen Achse
wird gefunden, wenn die Summe der statischen Momente mit der
Summe der Gewichte derselben Körper dividirt wird. Aus der Gleichung
P . O M + Q . O M + R . O M + S . O M + T . O M =
P . O B + Q . O C + R . O D + S . O E + T . O F
folgt durch zweckmässige Uibersetzung und Vereinigung der Glieder mit gleichen
Faktoren
P . O M — P . O B + Q . O M — Q . O C =
R . O D — R . O M + S . O E — S . O M + T . O F — T . O M oder
P . B M + Q . C M = R . D M + S . E M + T . F M
d. h. die statischen Momente der Gewichte um ihren Schwerpunkt
sind von beiden Seiten gleich; so wie es dem Begriffe vom Schwerpunkte
gleichfalls gemäss ist.

§. 68.

Bisher haben wir die Bedingnisse des Gleichgewichtes nur für den Fall angegeben,Fig.
20.
Tab.
1.
wenn die schweren Körper P, Q, R ..... unmittelbar an den Endpunkten ihrer He-
belsarme in A, B, C ..... angebracht sind und sammt ihrem Unterstützungspunkte O
in einer und derselben geraden Linie liegen. Es ist demnach noch nöthig,
Körper, die nicht in einer geraden Linie liegen, zu betrachten und allgemeine Regeln
für ihr Gleichgewicht aufzustellen.

Zu dieser Absicht dient die vorläufige Bemerkung, dass die Regel, welche für das
Gleichgewicht der Körper in einer geraden Linie (§. 66.) angegeben worden, auch noch
in dem Falle statt finde, wenn die Gewichte P, Q, R mittelst Schnüren an die-Fig.
22.
selben Punkte der geraden Linie A O C befestigt werden. Da nämlich alle Punkte einer
Schnur von dem daran hängenden Gewichte überall gleich stark herab gezogen werden, so
ist es offenbar einerlei, ob diese Gewichte an dem untern Ende der Schnur oder oben an
den Punkten A, B, C des geraden Hebels A B C angebracht werden. Da diese Schnüre
aber auch zugleich die Richtung zeigen, nach welcher die Körper von der Schwerkraft
gezogen werden, so gibt uns dieser Umstand noch Anlass zu folgender Betrachtung:

Es befinde sich der Hebel in der schiefen Lage A C; man ziehe durch den Un-
terstützungspunkt O eine horizontale Linie und verlängere die Richtungslinien der
Zugkräfte, bis sie diese horizontale Linie schneiden, so werden die Linien O a, O b und
O c die horizontalen Entfernungen oder die Abstände des Unterstützungspunktes O von
den Richtungen der angebrachten Zugkräfte vorstellen. Die Aehnlichkeit der Dreiecke
B O b und C O c mit A O a gibt die Proportionen:
O A:O B = O a:O b, woraus [Formel 2] und
O A:O C = O a:O c, woraus [Formel 3]
Setzt man diese Werthe in die §. 63. gefundene allgemeine Gleichung P . OA=Q . OB+R . OC,Fig.
17.

11 *
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[83/0113] Hebel. O M = [FORMEL] d. h. die Entfernung des Schwerpunktes von der gemeinschaftlichen Achse wird gefunden, wenn die Summe der statischen Momente mit der Summe der Gewichte derselben Körper dividirt wird. Aus der Gleichung P . O M + Q . O M + R . O M + S . O M + T . O M = P . O B + Q . O C + R . O D + S . O E + T . O F folgt durch zweckmässige Uibersetzung und Vereinigung der Glieder mit gleichen Faktoren P . O M — P . O B + Q . O M — Q . O C = R . O D — R . O M + S . O E — S . O M + T . O F — T . O M oder P . B M + Q . C M = R . D M + S . E M + T . F M d. h. die statischen Momente der Gewichte um ihren Schwerpunkt sind von beiden Seiten gleich; so wie es dem Begriffe vom Schwerpunkte gleichfalls gemäss ist. §. 68. Bisher haben wir die Bedingnisse des Gleichgewichtes nur für den Fall angegeben, wenn die schweren Körper P, Q, R ..... unmittelbar an den Endpunkten ihrer He- belsarme in A, B, C ..... angebracht sind und sammt ihrem Unterstützungspunkte O in einer und derselben geraden Linie liegen. Es ist demnach noch nöthig, Körper, die nicht in einer geraden Linie liegen, zu betrachten und allgemeine Regeln für ihr Gleichgewicht aufzustellen. Fig. 20. Tab. 1. Zu dieser Absicht dient die vorläufige Bemerkung, dass die Regel, welche für das Gleichgewicht der Körper in einer geraden Linie (§. 66.) angegeben worden, auch noch in dem Falle statt finde, wenn die Gewichte P, Q, R mittelst Schnüren an die- selben Punkte der geraden Linie A O C befestigt werden. Da nämlich alle Punkte einer Schnur von dem daran hängenden Gewichte überall gleich stark herab gezogen werden, so ist es offenbar einerlei, ob diese Gewichte an dem untern Ende der Schnur oder oben an den Punkten A, B, C des geraden Hebels A B C angebracht werden. Da diese Schnüre aber auch zugleich die Richtung zeigen, nach welcher die Körper von der Schwerkraft gezogen werden, so gibt uns dieser Umstand noch Anlass zu folgender Betrachtung: Fig. 22. Es befinde sich der Hebel in der schiefen Lage A C; man ziehe durch den Un- terstützungspunkt O eine horizontale Linie und verlängere die Richtungslinien der Zugkräfte, bis sie diese horizontale Linie schneiden, so werden die Linien O a, O b und O c die horizontalen Entfernungen oder die Abstände des Unterstützungspunktes O von den Richtungen der angebrachten Zugkräfte vorstellen. Die Aehnlichkeit der Dreiecke B O b und C O c mit A O a gibt die Proportionen: O A:O B = O a:O b, woraus [FORMEL] und O A:O C = O a:O c, woraus [FORMEL] Setzt man diese Werthe in die §. 63. gefundene allgemeine Gleichung P . OA=Q . OB+R . OC, Fig. 17. 11 *

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 83. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/113>, abgerufen am 21.11.2024.