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Gehler, Johann Samuel Traugott: Physikalisches Wörterbuch, oder, Versuch einer Erklärung der vornehmsten Begriffe und Kunstwörter der Naturlehre. Bd. 3. Leipzig, 1798.

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(Mechanica. Lugd. 1684. 4.) findet. Die Integralrechnung hat leichtere Wege hiezu gelehret (s. Clairaut in Mem. de Paris, 1731. p. 157. sqq. und Kästners Analysdes Unendlichen. Gött. 1770. Anh. I. S. 602.).

Fig. 142. sey CH ein Perpendikel aus C auf AB, auf diesem werde CL = x genemmen, und das zugehörige MN=y genannt, so ist Ll=dx, das Element MNnm =ydx. Da sich bey gleichförmiger Dichte die Gewichte, wie die Volumina verhalten, so stellt das Volumen MNnm zugleich das Gewicht dieses Elements vor; sein statisches Moment um C aber ist das Produkt dieses Gewichts in die Entfernung CP, also = CP. ydx. Mithin die Summe aller Momente von C bis MN = sCP. ydx. Wenn nun aus der Beschaffenheit der Figur CP und y durch x ausgedrückt werden, so läßt sich diese Summe durch Integriren finden, und giebt, wenn man x=CH setzt, die Summe aller Momente der ganzen Figur. Die Summe aller Gewichte wird durch das Volumen oder den Inhalt der ganzen Figur ausgedrückt; und der Quotient beyder giebt CE, den Abstand des Schwerpunkts vom Scheitel C. Eben so ist das Verfahren für den Körper Fig. 143, nur daß hier MN eine Fläche wird, da es Fig. 142. eine Linie war.

Ex. 1. Für das Dreyeck ABC. Hier ist x:y= CH:AB, auch x:CP = CH:CD. Nun sey AB= n. CH; CD = m. CH, so wird auch y = nx; CP= mx, und sCP. ydx = smnxdx. Dies so integrirt, daß es für x = 0 verschwindet, giebt die Summe der Momente von CMN = 1/3mnx, und vom ganzen Dreyeck = 1/3mnCH. Des Dreyecks Inhalt ist = 1/2CH. AB = 1/2nCH. Dies in die Summe der Momente dividirt, giebt CE = 2/3mCH = 2/3CD. Mithin liegt des Dreyecks Schwerpunkt E in der Linie CD so, daß er um zwey Drittel derselben von der Spitze C, und um ein Drittel von der Grundlinie oder von D absteht. In diesem Punkte E begegnen sich die drey Linien Aa, Bb, CD, welche aus den drey Spitzen des Dreyecks, jede nach dem Mittel der gegenüberstehenden Seite gezogen werden können, welches eine


(Mechanica. Lugd. 1684. 4.) findet. Die Integralrechnung hat leichtere Wege hiezu gelehret (ſ. Clairaut in Mém. de Paris, 1731. p. 157. ſqq. und Kaͤſtners Analyſdes Unendlichen. Goͤtt. 1770. Anh. I. S. 602.).

Fig. 142. ſey CH ein Perpendikel aus C auf AB, auf dieſem werde CL = x genemmen, und das zugehoͤrige MN=y genannt, ſo iſt Ll=dx, das Element MNnm =ydx. Da ſich bey gleichfoͤrmiger Dichte die Gewichte, wie die Volumina verhalten, ſo ſtellt das Volumen MNnm zugleich das Gewicht dieſes Elements vor; ſein ſtatiſches Moment um C aber iſt das Produkt dieſes Gewichts in die Entfernung CP, alſo = CP. ydx. Mithin die Summe aller Momente von C bis MN = ſCP. ydx. Wenn nun aus der Beſchaffenheit der Figur CP und y durch x ausgedruͤckt werden, ſo laͤßt ſich dieſe Summe durch Integriren finden, und giebt, wenn man x=CH ſetzt, die Summe aller Momente der ganzen Figur. Die Summe aller Gewichte wird durch das Volumen oder den Inhalt der ganzen Figur ausgedruͤckt; und der Quotient beyder giebt CE, den Abſtand des Schwerpunkts vom Scheitel C. Eben ſo iſt das Verfahren fuͤr den Koͤrper Fig. 143, nur daß hier MN eine Flaͤche wird, da es Fig. 142. eine Linie war.

Ex. 1. Fuͤr das Dreyeck ABC. Hier iſt x:y= CH:AB, auch x:CP = CH:CD. Nun ſey AB= n. CH; CD = m. CH, ſo wird auch y = nx; CP= mx, und ſCP. ydx = ſmnxdx. Dies ſo integrirt, daß es fuͤr x = 0 verſchwindet, giebt die Summe der Momente von CMN = 1/3mnx, und vom ganzen Dreyeck = 1/3mnCH. Des Dreyecks Inhalt iſt = 1/2CH. AB = 1/2nCH. Dies in die Summe der Momente dividirt, giebt CE = 2/3mCH = 2/3CD. Mithin liegt des Dreyecks Schwerpunkt E in der Linie CD ſo, daß er um zwey Drittel derſelben von der Spitze C, und um ein Drittel von der Grundlinie oder von D abſteht. In dieſem Punkte E begegnen ſich die drey Linien Aa, Bb, CD, welche aus den drey Spitzen des Dreyecks, jede nach dem Mittel der gegenuͤberſtehenden Seite gezogen werden koͤnnen, welches eine

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[926/0932] (Mechanica. Lugd. 1684. 4.) findet. Die Integralrechnung hat leichtere Wege hiezu gelehret (ſ. Clairaut in Mém. de Paris, 1731. p. 157. ſqq. und Kaͤſtners Analyſdes Unendlichen. Goͤtt. 1770. Anh. I. S. 602.). Fig. 142. ſey CH ein Perpendikel aus C auf AB, auf dieſem werde CL = x genemmen, und das zugehoͤrige MN=y genannt, ſo iſt Ll=dx, das Element MNnm =ydx. Da ſich bey gleichfoͤrmiger Dichte die Gewichte, wie die Volumina verhalten, ſo ſtellt das Volumen MNnm zugleich das Gewicht dieſes Elements vor; ſein ſtatiſches Moment um C aber iſt das Produkt dieſes Gewichts in die Entfernung CP, alſo = CP. ydx. Mithin die Summe aller Momente von C bis MN = ſCP. ydx. Wenn nun aus der Beſchaffenheit der Figur CP und y durch x ausgedruͤckt werden, ſo laͤßt ſich dieſe Summe durch Integriren finden, und giebt, wenn man x=CH ſetzt, die Summe aller Momente der ganzen Figur. Die Summe aller Gewichte wird durch das Volumen oder den Inhalt der ganzen Figur ausgedruͤckt; und der Quotient beyder giebt CE, den Abſtand des Schwerpunkts vom Scheitel C. Eben ſo iſt das Verfahren fuͤr den Koͤrper Fig. 143, nur daß hier MN eine Flaͤche wird, da es Fig. 142. eine Linie war. Ex. 1. Fuͤr das Dreyeck ABC. Hier iſt x:y= CH:AB, auch x:CP = CH:CD. Nun ſey AB= n. CH; CD = m. CH, ſo wird auch y = nx; CP= mx, und ſCP. ydx = ſmnxdx. Dies ſo integrirt, daß es fuͤr x = 0 verſchwindet, giebt die Summe der Momente von CMN = 1/3mnx, und vom ganzen Dreyeck = 1/3mnCH. Des Dreyecks Inhalt iſt = 1/2CH. AB = 1/2nCH. Dies in die Summe der Momente dividirt, giebt CE = 2/3mCH = 2/3CD. Mithin liegt des Dreyecks Schwerpunkt E in der Linie CD ſo, daß er um zwey Drittel derſelben von der Spitze C, und um ein Drittel von der Grundlinie oder von D abſteht. In dieſem Punkte E begegnen ſich die drey Linien Aa, Bb, CD, welche aus den drey Spitzen des Dreyecks, jede nach dem Mittel der gegenuͤberſtehenden Seite gezogen werden koͤnnen, welches eine

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Zitationshilfe: Gehler, Johann Samuel Traugott: Physikalisches Wörterbuch, oder, Versuch einer Erklärung der vornehmsten Begriffe und Kunstwörter der Naturlehre. Bd. 3. Leipzig, 1798, S. 926. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gehler_woerterbuch03_1798/932>, abgerufen am 22.11.2024.