Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178.64. St., den 23. April 1831. Nichtreste, und zwar so, daß dem Character 2zugleich quadratische Reste, den Charactern 1 und 3 hingegen quadratische Nichtreste entsprechen. Man erkennt leicht, daß es hauptsächlich darauf Wird zuerst k = 1 + i gesetzt, so zeigt sich, Ist hingegen k = a + b i eine solche Primzahl, Wenn sowohl a + b -- 1 als a + b -- 1 durch Diese Theoreme enthalten im Grunde alles 64. St., den 23. April 1831. Nichtreſte, und zwar ſo, daß dem Character 2zugleich quadratiſche Reſte, den Charactern 1 und 3 hingegen quadratiſche Nichtreſte entſprechen. Man erkennt leicht, daß es hauptſaͤchlich darauf Wird zuerſt k = 1 + i geſetzt, ſo zeigt ſich, Iſt hingegen k = α + ϐ i eine ſolche Primzahl, Wenn ſowohl α + ϐ — 1 als a + b — 1 durch Dieſe Theoreme enthalten im Grunde alles <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0014" n="531[631]"/><fw place="top" type="header">64. St., den 23. April 1831.</fw><lb/> Nichtreſte, und zwar ſo, daß dem Character 2<lb/> zugleich quadratiſche Reſte, den Charactern 1 und<lb/> 3 hingegen quadratiſche Nichtreſte entſprechen.</p><lb/> <p>Man erkennt leicht, daß es hauptſaͤchlich darauf<lb/> ankommt, dieſen Character bloß fuͤr ſolche Wer-<lb/> the von <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">k</hi></hi> beſtimmen zu koͤnnen, die ſelbſt com-<lb/> plexe Primzahlen ſind, und hier fuͤhrt ſogleich<lb/> die Induction zu hoͤchſt einfachen Reſultaten.</p><lb/> <p>Wird zuerſt <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">k</hi></hi> = 1 + <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">i</hi></hi> geſetzt, ſo zeigt ſich,<lb/> daß der Character dieſer Zahl allemahl √<lb/> ⅛ (— <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">aa</hi></hi> + 2<hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">ab</hi></hi> — 3<hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">bb</hi></hi> + 1) (<hi rendition="#aq">mod.</hi> 4) wird, und<lb/> aͤhnliche Ausdruͤcke finden ſich fuͤr die Faͤlle<lb/><hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">k</hi></hi> = 1 — <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">i</hi>, <hi rendition="#aq">k</hi></hi> = — 1 + <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">i</hi>, <hi rendition="#aq">k</hi></hi> = — 1 — <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">i</hi></hi>.</p><lb/> <p>Iſt hingegen <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">k</hi></hi> = <hi rendition="#i">α</hi> + <hi rendition="#i">ϐ <hi rendition="#aq">i</hi></hi> eine ſolche Primzahl,<lb/> wo <hi rendition="#i">α</hi> ungerade und <hi rendition="#i">ϐ</hi> gerade iſt, ſo ergibt ſich<lb/> durch die Induction ſehr leicht ein dem Funda-<lb/> mentaltheorem fuͤr die quadratiſchen Reſte ganz<lb/> analoges Reciprocitaͤtsgeſetz, welches am einfach-<lb/> ſten auf folgende Art ausgedruͤckt werden kann:</p><lb/> <p>Wenn ſowohl <hi rendition="#i">α</hi> + <hi rendition="#i">ϐ</hi> — 1 als <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">a</hi></hi> + <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">b</hi></hi> — 1 durch<lb/> 4 theilbar ſind (auf welchen Fall alle uͤbrigen<lb/> leicht zuruͤckgefuͤhrt werden koͤnnen), und der Cha-<lb/> racter der Zahl <hi rendition="#i">α</hi> + <hi rendition="#i">ϐ <hi rendition="#aq">i</hi></hi> in Beziehung auf den<lb/> Modulus <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">a</hi></hi> + <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">b i</hi></hi> durch <hi rendition="#i">λ</hi>, hingegen der Cha-<lb/> racter von <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">a</hi></hi> + <hi rendition="#i"><hi rendition="#aq">b i</hi></hi> in Beziehung auf den Mo-<lb/> dulus <hi rendition="#i">α</hi> + <hi rendition="#i">ϐ <hi rendition="#aq">i</hi></hi> durch <hi rendition="#i">ι</hi> bezeichnet wird: ſo iſt<lb/><hi rendition="#i">λ</hi> = <hi rendition="#i">ι</hi>, wenn zugleich eine der Zahlen <hi rendition="#i">ϐ, <hi rendition="#aq">b</hi></hi> (oder<lb/> beide) durch 4 theilbar iſt, hingegen <hi rendition="#i">λ</hi> = <hi rendition="#i">ι</hi> ± 2,<lb/> wenn keine der Zahlen <hi rendition="#i">ϐ, <hi rendition="#aq">b</hi></hi> durch 4 theilbar iſt.</p><lb/> <p>Dieſe Theoreme enthalten im Grunde alles<lb/> Weſentliche der Theorie der biquadratiſchen Reſte<lb/> in ſich: ſo leicht es aber war, ſie durch In-<lb/> duction zu entdecken, ſo ſchwer iſt es, ſtrenge<lb/> Beweiſe fuͤr ſie zu geben, beſonders fuͤr das<lb/> zweyte, das Fundamentaltheorem der biquadra-<lb/> tiſchen Reſte. Wegen des großen Umfanges, zu<lb/> welchem ſchon die gegenwaͤrtige Abhandlung an-<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [531[631]/0014]
64. St., den 23. April 1831.
Nichtreſte, und zwar ſo, daß dem Character 2
zugleich quadratiſche Reſte, den Charactern 1 und
3 hingegen quadratiſche Nichtreſte entſprechen.
Man erkennt leicht, daß es hauptſaͤchlich darauf
ankommt, dieſen Character bloß fuͤr ſolche Wer-
the von k beſtimmen zu koͤnnen, die ſelbſt com-
plexe Primzahlen ſind, und hier fuͤhrt ſogleich
die Induction zu hoͤchſt einfachen Reſultaten.
Wird zuerſt k = 1 + i geſetzt, ſo zeigt ſich,
daß der Character dieſer Zahl allemahl √
⅛ (— aa + 2ab — 3bb + 1) (mod. 4) wird, und
aͤhnliche Ausdruͤcke finden ſich fuͤr die Faͤlle
k = 1 — i, k = — 1 + i, k = — 1 — i.
Iſt hingegen k = α + ϐ i eine ſolche Primzahl,
wo α ungerade und ϐ gerade iſt, ſo ergibt ſich
durch die Induction ſehr leicht ein dem Funda-
mentaltheorem fuͤr die quadratiſchen Reſte ganz
analoges Reciprocitaͤtsgeſetz, welches am einfach-
ſten auf folgende Art ausgedruͤckt werden kann:
Wenn ſowohl α + ϐ — 1 als a + b — 1 durch
4 theilbar ſind (auf welchen Fall alle uͤbrigen
leicht zuruͤckgefuͤhrt werden koͤnnen), und der Cha-
racter der Zahl α + ϐ i in Beziehung auf den
Modulus a + b i durch λ, hingegen der Cha-
racter von a + b i in Beziehung auf den Mo-
dulus α + ϐ i durch ι bezeichnet wird: ſo iſt
λ = ι, wenn zugleich eine der Zahlen ϐ, b (oder
beide) durch 4 theilbar iſt, hingegen λ = ι ± 2,
wenn keine der Zahlen ϐ, b durch 4 theilbar iſt.
Dieſe Theoreme enthalten im Grunde alles
Weſentliche der Theorie der biquadratiſchen Reſte
in ſich: ſo leicht es aber war, ſie durch In-
duction zu entdecken, ſo ſchwer iſt es, ſtrenge
Beweiſe fuͤr ſie zu geben, beſonders fuͤr das
zweyte, das Fundamentaltheorem der biquadra-
tiſchen Reſte. Wegen des großen Umfanges, zu
welchem ſchon die gegenwaͤrtige Abhandlung an-
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Zitationshilfe: | Gauß, Carl Friedrich: Anzeige von 'Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'. In: Göttingische gelehrte Anzeigen, 23. April 1831, S. 169–178, hier S. 531[631]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_theoria_1831/14>, abgerufen am 16.07.2024. |