Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.2. dass, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben, I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt In der That ist, wenn wir die Variationen von O und V II. Offenbar sind die Variationen m allgemein an die Be- III. Nehmen wir nun an, dass bei einer bestimmten Ver- 2. daſs, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben, I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt In der That ist, wenn wir die Variationen von Ω und V II. Offenbar sind die Variationen μ allgemein an die Be- III. Nehmen wir nun an, daſs bei einer bestimmten Ver- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <pb facs="#f0047" n="42"/> <p>2. daſs, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben,<lb/><hi rendition="#i">W</hi> in denselben gröſser sein muſs, oder wenigstens nicht klei-<lb/> ner sein kann, als jener constante Werth.</p><lb/> <p>I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt<lb/> einer Vertheilungsweise eine andere unendlich wenig davon<lb/> verschiedene angenommen wird, indem <hi rendition="#i">m + μ</hi> an die Stelle<lb/> von <hi rendition="#i">m</hi> gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von <hi rendition="#i">Ω</hi><lb/> durch 2 <hi rendition="#i">∫ W μ</hi> d <hi rendition="#i">s</hi> ausgedrückt werden wird.</p><lb/> <p>In der That ist, wenn wir die Variationen von <hi rendition="#i">Ω</hi> und <hi rendition="#i">V</hi><lb/> mit <hi rendition="#i">δΩ</hi> und <hi rendition="#i">δV</hi> bezeichnen,<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> Allein zugleich ist <formula/>, wie leicht aus dem<lb/> Lehrsatze des 19 Artikels erhellet, indem <hi rendition="#i">δV</hi> nichts anders ist,<lb/> als das Potential derjenigen Massenvertheilung, wobei <hi rendition="#i">μ</hi> die<lb/> Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und also was<lb/> hier <hi rendition="#i">V, m, δV, μ</hi> ist, dort für <hi rendition="#i">V, K, v, k</hi> angenommen werden<lb/> kann, so wie d <hi rendition="#i">s</hi> zugleich für d <hi rendition="#i">S</hi> und d <hi rendition="#i">s.</hi> Es wird folglich<lb/><hi rendition="#c"><formula/>.</hi></p><lb/> <p>II. Offenbar sind die Variationen <hi rendition="#i">μ</hi> allgemein an die Be-<lb/> dingung geknüpft, daſs <hi rendition="#i">∫ μ</hi> d <hi rendition="#i">s</hi> = 0 werden muſs; für die ge-<lb/> genwärtige Untersuchung aber auch noch an die zweite, daſs<lb/><hi rendition="#i">μ</hi> in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche vorhan-<lb/> den sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung<lb/> aufhören würde, eine gleichartige zu sein.</p><lb/> <p>III. Nehmen wir nun an, daſs bei einer bestimmten Ver-<lb/> theilung von <hi rendition="#i">M</hi> ungleiche Werthe der Gröſse <hi rendition="#i">W</hi> in den ver-<lb/> schiedenen Theilen der Fläche Statt finden. Es sei <hi rendition="#i">A</hi> eine<lb/> Gröſse, die zwischen den ungleichen Werthen von <hi rendition="#i">W</hi> liegt;<lb/><hi rendition="#i">P</hi> das Stück der Fläche, wo die Werthe von <hi rendition="#i">W</hi> gröſser, <hi rendition="#i">Q</hi><lb/> dasjenige, wo sie kleiner sind, als <hi rendition="#i">A</hi>; es seien ferner <hi rendition="#i">p, q</hi> gleich<lb/> groſse Stücke der Fläche, jenes zu <hi rendition="#i">P,</hi> dieses zu <hi rendition="#i">Q</hi> gehörig.<lb/> Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation von <hi rendition="#i">m</hi> überall in<lb/><hi rendition="#i">p</hi> den constanten negativen Werth <hi rendition="#i">μ = — ν,</hi> in <hi rendition="#i">q</hi> hingegen<lb/> überall den positiven <hi rendition="#i">μ = ν,</hi> und in allen übrigen Theilen<lb/> der Fläche den Werth 0 bei. Offenbar wird hiedurch der er-<lb/> sten Bedingung in II Genüge geleistet; die zweite hingegen<lb/> wird noch erfordern, daſs <hi rendition="#i">p</hi> keine unbelegte Theile enthalte,<lb/></p> </div> </body> </text> </TEI> [42/0047]
2. daſs, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben,
W in denselben gröſser sein muſs, oder wenigstens nicht klei-
ner sein kann, als jener constante Werth.
I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt
einer Vertheilungsweise eine andere unendlich wenig davon
verschiedene angenommen wird, indem m + μ an die Stelle
von m gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von Ω
durch 2 ∫ W μ d s ausgedrückt werden wird.
In der That ist, wenn wir die Variationen von Ω und V
mit δΩ und δV bezeichnen,
[FORMEL] Allein zugleich ist [FORMEL], wie leicht aus dem
Lehrsatze des 19 Artikels erhellet, indem δV nichts anders ist,
als das Potential derjenigen Massenvertheilung, wobei μ die
Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und also was
hier V, m, δV, μ ist, dort für V, K, v, k angenommen werden
kann, so wie d s zugleich für d S und d s. Es wird folglich
[FORMEL].
II. Offenbar sind die Variationen μ allgemein an die Be-
dingung geknüpft, daſs ∫ μ d s = 0 werden muſs; für die ge-
genwärtige Untersuchung aber auch noch an die zweite, daſs
μ in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche vorhan-
den sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung
aufhören würde, eine gleichartige zu sein.
III. Nehmen wir nun an, daſs bei einer bestimmten Ver-
theilung von M ungleiche Werthe der Gröſse W in den ver-
schiedenen Theilen der Fläche Statt finden. Es sei A eine
Gröſse, die zwischen den ungleichen Werthen von W liegt;
P das Stück der Fläche, wo die Werthe von W gröſser, Q
dasjenige, wo sie kleiner sind, als A; es seien ferner p, q gleich
groſse Stücke der Fläche, jenes zu P, dieses zu Q gehörig.
Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation von m überall in
p den constanten negativen Werth μ = — ν, in q hingegen
überall den positiven μ = ν, und in allen übrigen Theilen
der Fläche den Werth 0 bei. Offenbar wird hiedurch der er-
sten Bedingung in II Genüge geleistet; die zweite hingegen
wird noch erfordern, daſs p keine unbelegte Theile enthalte,
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Zitationshilfe: | Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 42. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/47>, abgerufen am 29.07.2024. |