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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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Beweis. Bezeichnet man mit U d m denjenigen Theil von
P, welcher von dem Massenelemente d m herrührt, mit r die
Entfernung des Elements d m von d s, und mit u den Winkel,
welchen in d s die nach Innen gerichtete Normale mit r macht,
so ist U = [Formel 1] . Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte
d m, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroi-
dicorum ellipticorum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes [Formel 2] . d s
= o, 2 p oder 4 p, jenachdem d m ausserhalb des durch
die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder in-
nerhalb jenes Raumes liegt. Da nun integral P d s dem Gesammtbe-
trage aller d m . integral U d s gleichkommt, so ergibt sich hieraus un-
ser Theorem von selbst.

In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muss noch
bemerkt werden, dass derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O.
ausgesprochen ist, für einen speciellen Fall einer Modification
bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines gegebenen
Punktes von dem Elemente d s, und für den Fall, wo dieser
Punkt in der Fläche selbst liegt, ist die Formel [Formel 3] . d s
= 2 p nur insofern richtig, als die Stetigkeit der Krümmung
der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine solche
Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante
oder Ecke liegt, und dann muss anstatt 2 p der Inhalt derje-
nigen Figur gesetzt werden, welche durch die sämmtlichen
von da ausgehenden die Fläche tangirenden geraden Linien aus
einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be-
schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche
Ausnahmsfälle nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Flä-
che, sondern nur Scheidungsgrenzen zwischen Theilen betreffen,
so hat diess offenbar auf die von dem Hülfssatze hier gemachte
Anwendung gar keinen Einfluss.

23.

Wir legen durch jeden Punkt der Fläche eine Normale,
und bezeichnen mit p die Entfernung eines unbestimmten Punktes
derselben von dem in die Fläche selbst gesetzten Anfangspunkte,

Beweis. Bezeichnet man mit U d μ denjenigen Theil von
P, welcher von dem Massenelemente d μ herrührt, mit r die
Entfernung des Elements d μ von d s, und mit u den Winkel,
welchen in d s die nach Innen gerichtete Normale mit r macht,
so ist U = [Formel 1] . Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte
d μ, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroi-
dicorum ellipticorum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes [Formel 2] . d s
= o, 2 π oder 4 π, jenachdem d μ auſserhalb des durch
die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder in-
nerhalb jenes Raumes liegt. Da nun ∫ P d s dem Gesammtbe-
trage aller d μ . ∫ U d s gleichkommt, so ergibt sich hieraus un-
ser Theorem von selbst.

In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muſs noch
bemerkt werden, daſs derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O.
ausgesprochen ist, für einen speciellen Fall einer Modification
bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines gegebenen
Punktes von dem Elemente d s, und für den Fall, wo dieser
Punkt in der Fläche selbst liegt, ist die Formel [Formel 3] . d s
= 2 π nur insofern richtig, als die Stetigkeit der Krümmung
der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine solche
Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante
oder Ecke liegt, und dann muſs anstatt 2 π der Inhalt derje-
nigen Figur gesetzt werden, welche durch die sämmtlichen
von da ausgehenden die Fläche tangirenden geraden Linien aus
einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be-
schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche
Ausnahmsfälle nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Flä-
che, sondern nur Scheidungsgrenzen zwischen Theilen betreffen,
so hat dieſs offenbar auf die von dem Hülfssatze hier gemachte
Anwendung gar keinen Einfluſs.

23.

Wir legen durch jeden Punkt der Fläche eine Normale,
und bezeichnen mit p die Entfernung eines unbestimmten Punktes
derselben von dem in die Fläche selbst gesetzten Anfangspunkte,

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[32/0037] Beweis. Bezeichnet man mit U d μ denjenigen Theil von P, welcher von dem Massenelemente d μ herrührt, mit r die Entfernung des Elements d μ von d s, und mit u den Winkel, welchen in d s die nach Innen gerichtete Normale mit r macht, so ist U = [FORMEL]. Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte d μ, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroi- dicorum ellipticorum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes [FORMEL]. d s = o, 2 π oder 4 π, jenachdem d μ auſserhalb des durch die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder in- nerhalb jenes Raumes liegt. Da nun ∫ P d s dem Gesammtbe- trage aller d μ . ∫ U d s gleichkommt, so ergibt sich hieraus un- ser Theorem von selbst. In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muſs noch bemerkt werden, daſs derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O. ausgesprochen ist, für einen speciellen Fall einer Modification bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines gegebenen Punktes von dem Elemente d s, und für den Fall, wo dieser Punkt in der Fläche selbst liegt, ist die Formel [FORMEL]. d s = 2 π nur insofern richtig, als die Stetigkeit der Krümmung der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine solche Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante oder Ecke liegt, und dann muſs anstatt 2 π der Inhalt derje- nigen Figur gesetzt werden, welche durch die sämmtlichen von da ausgehenden die Fläche tangirenden geraden Linien aus einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be- schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche Ausnahmsfälle nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Flä- che, sondern nur Scheidungsgrenzen zwischen Theilen betreffen, so hat dieſs offenbar auf die von dem Hülfssatze hier gemachte Anwendung gar keinen Einfluſs. 23. Wir legen durch jeden Punkt der Fläche eine Normale, und bezeichnen mit p die Entfernung eines unbestimmten Punktes derselben von dem in die Fläche selbst gesetzten Anfangspunkte,

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 32. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/37>, abgerufen am 22.02.2025.