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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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Potential von einer in jenem Punkte angenommenen Masse 4 p R R;
auf der Oberfläche der Kugel fallen beide Werthe von v zusammen.
Befindet sich also das erste Massensystem ganz im Innern der
Kugel, so wird S M v äqual dem Producte der Gesammtmasse
dieses Systems in 4 p R; ist aber jenes Massensystem ganz au-
sserhalb der Kugel, so wird S M v äqual dem Producte des
Potentials dieser Masse im Mittelpunkte der Kugel in 4 p R R;
ist endlich das erste Massensystem auf der Oberfläche der Ku-
gel nach der Stetigkeit vertheilt, so sind für integral K v d S beide
Ausdrücke gleichgültig. Es folgt hieraus der

LEHRSATZ. Bedeutet V das Potential einer wie immer ver-
theilten Masse in dem Elemente einer mit dem Halbmesser R
beschriebene Kugelfläche d s, so wird, durch die ganze Kugel-
fläche integrirt,
integral V d s = 4 p (R M0 + R R V0)
wenn man mit M0 die ganze im Innern der Kugel befindliche
Masse, mit V0 das Potential der ausserhalb befindlichen Masse
im Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dabei die Massen,
die etwa auf der Oberfläche der Kugel stetig vertheilt sein
mögen, nach Belieben den äussern oder innern Massen zuordnet.

21.

LEHRSATZ. Das Potential V von Massen, die sämmtlich
ausserhalb eines zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht
in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth und
zugleich in einem andern Theile desselben einen verschiedenen
Werth haben.

Beweis. Nehmen wir an, es sei in jedem Punkte des
Raums A das Potential constant = a, und in jedem Punkte
eines andern an A grenzenden keine Masse enthaltenden Raumes
B (algebraisch) grösser als a. Man construire eine Kugel, wo-
von ein Theil in B, der übrige Theil aber nebst dem Mittel-
punkte in A enthalten ist, welche Construction allemahl mög-
lich sein wird. Ist nun R der Halbmesser dieser Kugel, und
d s ein unbestimmtes Element ihrer Oberfläche, so ist nach
dem Lehrsatze des vorigen Artikels integral V d s = 4 p R R a, und
integral(V -- a) d s = o, was unmöglich ist, da für den Theil der
Oberfläche, welcher in A liegt, V -- a = o, und für den übri-

Potential von einer in jenem Punkte angenommenen Masse 4 π R R;
auf der Oberfläche der Kugel fallen beide Werthe von v zusammen.
Befindet sich also das erste Massensystem ganz im Innern der
Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte der Gesammtmasse
dieses Systems in 4 π R; ist aber jenes Massensystem ganz au-
ſserhalb der Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte des
Potentials dieser Masse im Mittelpunkte der Kugel in 4 π R R;
ist endlich das erste Massensystem auf der Oberfläche der Ku-
gel nach der Stetigkeit vertheilt, so sind für ∫ K v d S beide
Ausdrücke gleichgültig. Es folgt hieraus der

LEHRSATZ. Bedeutet V das Potential einer wie immer ver-
theilten Masse in dem Elemente einer mit dem Halbmesser R
beschriebene Kugelfläche d s, so wird, durch die ganze Kugel-
fläche integrirt,
∫ V d s = 4 π (R M0 + R R V0)
wenn man mit M0 die ganze im Innern der Kugel befindliche
Masse, mit V0 das Potential der auſserhalb befindlichen Masse
im Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dabei die Massen,
die etwa auf der Oberfläche der Kugel stetig vertheilt sein
mögen, nach Belieben den äuſsern oder innern Massen zuordnet.

21.

LEHRSATZ. Das Potential V von Massen, die sämmtlich
auſserhalb eines zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht
in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth und
zugleich in einem andern Theile desselben einen verschiedenen
Werth haben.

Beweis. Nehmen wir an, es sei in jedem Punkte des
Raums A das Potential constant = a, und in jedem Punkte
eines andern an A grenzenden keine Masse enthaltenden Raumes
B (algebraisch) gröſser als a. Man construire eine Kugel, wo-
von ein Theil in B, der übrige Theil aber nebst dem Mittel-
punkte in A enthalten ist, welche Construction allemahl mög-
lich sein wird. Ist nun R der Halbmesser dieser Kugel, und
d s ein unbestimmtes Element ihrer Oberfläche, so ist nach
dem Lehrsatze des vorigen Artikels ∫ V d s = 4 π R R a, und
∫(V — a) d s = o, was unmöglich ist, da für den Theil der
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[30/0035] Potential von einer in jenem Punkte angenommenen Masse 4 π R R; auf der Oberfläche der Kugel fallen beide Werthe von v zusammen. Befindet sich also das erste Massensystem ganz im Innern der Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte der Gesammtmasse dieses Systems in 4 π R; ist aber jenes Massensystem ganz au- ſserhalb der Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte des Potentials dieser Masse im Mittelpunkte der Kugel in 4 π R R; ist endlich das erste Massensystem auf der Oberfläche der Ku- gel nach der Stetigkeit vertheilt, so sind für ∫ K v d S beide Ausdrücke gleichgültig. Es folgt hieraus der LEHRSATZ. Bedeutet V das Potential einer wie immer ver- theilten Masse in dem Elemente einer mit dem Halbmesser R beschriebene Kugelfläche d s, so wird, durch die ganze Kugel- fläche integrirt, ∫ V d s = 4 π (R M0 + R R V0) wenn man mit M0 die ganze im Innern der Kugel befindliche Masse, mit V0 das Potential der auſserhalb befindlichen Masse im Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dabei die Massen, die etwa auf der Oberfläche der Kugel stetig vertheilt sein mögen, nach Belieben den äuſsern oder innern Massen zuordnet. 21. LEHRSATZ. Das Potential V von Massen, die sämmtlich auſserhalb eines zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth und zugleich in einem andern Theile desselben einen verschiedenen Werth haben. Beweis. Nehmen wir an, es sei in jedem Punkte des Raums A das Potential constant = a, und in jedem Punkte eines andern an A grenzenden keine Masse enthaltenden Raumes B (algebraisch) gröſser als a. Man construire eine Kugel, wo- von ein Theil in B, der übrige Theil aber nebst dem Mittel- punkte in A enthalten ist, welche Construction allemahl mög- lich sein wird. Ist nun R der Halbmesser dieser Kugel, und d s ein unbestimmtes Element ihrer Oberfläche, so ist nach dem Lehrsatze des vorigen Artikels ∫ V d s = 4 π R R a, und ∫(V — a) d s = o, was unmöglich ist, da für den Theil der Oberfläche, welcher in A liegt, V — a = o, und für den übri-

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 30. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/35>, abgerufen am 19.11.2024.