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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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[Formel 1] so ist klar, dass das Behauptete für den ersten Theil gilt,
wenn d unendlich klein, und für den zweiten, wenn [Formel 2] unend-
lich gross ist, also für das Ganze, wenn d ein Unendlichkleines
von einer niedrigern Ordnung als e.

Ein ähnlicher Schluss gilt auch in Beziehung auf das In-
tegral [Formel 3] , wenn die Punkte der Fläche, welche
dem bestimmten Werthe von th entsprechen, eine Curve bilden,
die in P eine messbare Krümmung hat, so dass [Formel 4] in dem hier
betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich
ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth
mit A, so wird
[Formel 5] mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei
[Formel 6] bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schlussweise von
selbst klar ist.

Endlich sind auch offenbar die Werthe von [Formel 7] für
alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede
gleich.

Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' -- k0 bis auf
unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird
demnach auch von integral (Q' + k0)dth, integralQ0dth, integral (Q'' -- k0) dth
gelten, oder von den Grössen X' + 2pk0, X0, X'' -- 2pk0.

Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der
Grenzwerth von X, bei unendlich abnehmendem positiven x ist
X0 -- 2pk0, bei unendlich abnehmenden negativen x hingegen
X0 + 2pk0, oder X ändert sich zweimahl sprungsweise um
-- 2pk0, indem x aus einem negativen Werthe in einen po-
sitiven übergeht, das erstemahl, indem x den Werth 0 erreicht,
und das zweitemahl, indem es ihn überschreitet.


[Formel 1] so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt,
wenn δ unendlich klein, und für den zweiten, wenn [Formel 2] unend-
lich groſs ist, also für das Ganze, wenn δ ein Unendlichkleines
von einer niedrigern Ordnung als ε.

Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In-
tegral [Formel 3] , wenn die Punkte der Fläche, welche
dem bestimmten Werthe von θ entsprechen, eine Curve bilden,
die in P eine meſsbare Krümmung hat, so daſs [Formel 4] in dem hier
betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich
ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth
mit A, so wird
[Formel 5] mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei
[Formel 6] bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schluſsweise von
selbst klar ist.

Endlich sind auch offenbar die Werthe von [Formel 7] für
alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede
gleich.

Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' — k0 bis auf
unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird
demnach auch von ∫ (Q' + k0)dθ, ∫Q0dθ, ∫ (Q'' — k0) dθ
gelten, oder von den Grössen X' + 2πk0, X0, X'' — 2πk0.

Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der
Grenzwerth von X, bei unendlich abnehmendem positiven x ist
X0 — 2πk0, bei unendlich abnehmenden negativen x hingegen
X0 + 2πk0, oder X ändert sich zweimahl sprungsweise um
— 2πk0, indem x aus einem negativen Werthe in einen po-
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[23/0028] [FORMEL] so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt, wenn δ unendlich klein, und für den zweiten, wenn [FORMEL] unend- lich groſs ist, also für das Ganze, wenn δ ein Unendlichkleines von einer niedrigern Ordnung als ε. Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In- tegral [FORMEL], wenn die Punkte der Fläche, welche dem bestimmten Werthe von θ entsprechen, eine Curve bilden, die in P eine meſsbare Krümmung hat, so daſs [FORMEL] in dem hier betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth mit A, so wird [FORMEL] mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei [FORMEL] bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schluſsweise von selbst klar ist. Endlich sind auch offenbar die Werthe von [FORMEL] für alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede gleich. Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' — k0 bis auf unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird demnach auch von ∫ (Q' + k0)dθ, ∫Q0dθ, ∫ (Q'' — k0) dθ gelten, oder von den Grössen X' + 2πk0, X0, X'' — 2πk0. Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der Grenzwerth von X, bei unendlich abnehmendem positiven x ist X0 — 2πk0, bei unendlich abnehmenden negativen x hingegen X0 + 2πk0, oder X ändert sich zweimahl sprungsweise um — 2πk0, indem x aus einem negativen Werthe in einen po- sitiven übergeht, das erstemahl, indem x den Werth 0 erreicht, und das zweitemahl, indem es ihn überschreitet.

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 23. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/28>, abgerufen am 26.11.2024.