Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be- Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0, Da r = sqrt ((a -- x)2 + rr), so erhält man, indem man Der Werth des Integrals
[Formel 6]
. dr bleibt bis auf überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be- Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0, Da r = √ ((a — x)2 + ρρ), so erhält man, indem man Der Werth des Integrals
[Formel 6]
. dρ bleibt bis auf <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0027" n="22"/> überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be-<lb/> stimmten Werth von <hi rendition="#i">θ</hi>, den Werth des Integrals <formula/>,<lb/> von <hi rendition="#i">ρ</hi> = 0 bis <hi rendition="#i">ρ</hi> = <hi rendition="#i">ρ</hi>' ausgedehnt, = <hi rendition="#i">Q</hi>, so wird <hi rendition="#i">X</hi> = <hi rendition="#i">∫Q</hi>d<hi rendition="#i">θ</hi>,<lb/> wo die Integration von <hi rendition="#i">θ</hi> = 0, bis <hi rendition="#i">θ</hi> = 2<hi rendition="#i">π</hi> zu erstrecken ist.</p><lb/> <p>Es kommt nun darauf an, die Werthe von <hi rendition="#i">X</hi> für <hi rendition="#i">x</hi> = 0,<lb/> für ein unendliches kleines positives <hi rendition="#i">x</hi>, und für ein unendlich<lb/> kleines negatives (die beiden andern Coordinaten <hi rendition="#i">y, z</hi> allemahl<lb/> = 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich-<lb/> nen diese drei Werthe von <hi rendition="#i">X</hi> mit <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">X', X''</hi>, und die ent-<lb/> sprechenden Werthe von <hi rendition="#i">Q</hi> mit <hi rendition="#i">Q</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">Q', Q''</hi>.</p><lb/> <p>Da <hi rendition="#i">r</hi> = √ ((<hi rendition="#i">a</hi> — <hi rendition="#i">x</hi>)<hi rendition="#sup">2</hi> + <hi rendition="#i">ρρ</hi>), so erhält man, indem man<lb/><hi rendition="#i">θ</hi> als constant betrachtet,<lb/><formula/> und folglich <hi rendition="#i">Q</hi> =<lb/><formula/>.<lb/> wo die beiden Integrationen von <hi rendition="#i">ρ</hi> = 0 bis <hi rendition="#i">ρ</hi> = <hi rendition="#i">ρ</hi>' auszudeh-<lb/> nen, und die Werthe von <hi rendition="#i">h, a, r</hi> für <hi rendition="#i">ρ</hi> = <hi rendition="#i">ρ</hi>' mit <hi rendition="#i">h', a', r'</hi><lb/> bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von<lb/><formula/> für <hi rendition="#i">ρ</hi> = 0 anzunehmen, welcher wenn man die<lb/> Dichtigkeit in <hi rendition="#i">P</hi> mit <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi> bezeichnet, = — <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi> wird für ein po-<lb/> sitives <hi rendition="#i">x</hi>, und = + <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi> für ein negatives, indem für <hi rendition="#i">ρ</hi> = 0<lb/> offenbar <hi rendition="#i">a</hi> = 0, <hi rendition="#i">ψ</hi> = 0, <hi rendition="#i">h</hi> = <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">x</hi> = ± <hi rendition="#i">r</hi> wird. Für den<lb/> Fall <hi rendition="#i">x</hi> = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth<lb/> von <formula/> bei unendlich abnehmendem <hi rendition="#i">ρ</hi> anzunehmen, welcher<lb/> = 0 ist, weil <hi rendition="#i">a</hi> ein Unendlichkleines von einer höhern Ord-<lb/> nung wird als <hi rendition="#i">r</hi>.</p><lb/> <p>Der Werth des Integrals <formula/>. d<hi rendition="#i">ρ</hi> bleibt bis auf<lb/> einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge <hi rendition="#i">x</hi> = 0,<lb/> oder unendlich klein = ± <hi rendition="#i">ε</hi> setzen. Zerlegt man nemlich<lb/> jenes Integral in<lb/></p> </div> </body> </text> </TEI> [22/0027]
überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be-
stimmten Werth von θ, den Werth des Integrals [FORMEL],
von ρ = 0 bis ρ = ρ' ausgedehnt, = Q, so wird X = ∫Qdθ,
wo die Integration von θ = 0, bis θ = 2π zu erstrecken ist.
Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0,
für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich
kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl
= 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich-
nen diese drei Werthe von X mit X0, X', X'', und die ent-
sprechenden Werthe von Q mit Q0, Q', Q''.
Da r = √ ((a — x)2 + ρρ), so erhält man, indem man
θ als constant betrachtet,
[FORMEL] und folglich Q =
[FORMEL].
wo die beiden Integrationen von ρ = 0 bis ρ = ρ' auszudeh-
nen, und die Werthe von h, a, r für ρ = ρ' mit h', a', r'
bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von
[FORMEL] für ρ = 0 anzunehmen, welcher wenn man die
Dichtigkeit in P mit k0 bezeichnet, = — k0 wird für ein po-
sitives x, und = + k0 für ein negatives, indem für ρ = 0
offenbar a = 0, ψ = 0, h = k0, x = ± r wird. Für den
Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth
von [FORMEL] bei unendlich abnehmendem ρ anzunehmen, welcher
= 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord-
nung wird als r.
Der Werth des Integrals [FORMEL]. dρ bleibt bis auf
einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0,
oder unendlich klein = ± ε setzen. Zerlegt man nemlich
jenes Integral in
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Zitationshilfe: | Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 22. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/27>, abgerufen am 29.07.2024. |