Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant. Es ist nun bekannt, dass V0 = 4pkR wird, wenn O in- Der Ausdruck für X0, innerhalb und ausserhalb der Ku- Erwägt man nun, dass wenn O ein auf der Oberfläche fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant. Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in- Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku- Erwägt man nun, daſs wenn O ein auf der Oberfläche <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0025" n="20"/> fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder <hi rendition="#i">k</hi> constant.<lb/> Es sind also <hi rendition="#i">V, X</hi> die Werthe der Integrale<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> durch <hi rendition="#i">A</hi> ausgedehnt; bezeichnen wir mit <hi rendition="#i">V', X'</hi> dieselben In-<lb/> tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche <hi rendition="#i">B</hi>,<lb/> und mit <hi rendition="#i">V</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-<lb/> streckt werden, so wird <hi rendition="#i">V</hi> = <hi rendition="#i">V</hi><hi rendition="#sup">0</hi> — <hi rendition="#i">V', X</hi> = <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi> — <hi rendition="#i">X</hi>'.<lb/> Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit <hi rendition="#i">R</hi> bezeichnen,<lb/> den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der<lb/> Kugel legen, und √ (<hi rendition="#i">xx</hi> + <hi rendition="#i">yy</hi> + <hi rendition="#i">zz</hi>) oder den Abstand des<lb/> Punktes <hi rendition="#i">O</hi> vom Mittelpunkte der Kugel = <hi rendition="#i">ρ</hi> setzen.</p><lb/> <p>Es ist nun bekannt, daſs <hi rendition="#i">V</hi><hi rendition="#sup">0</hi> = 4<hi rendition="#i">πkR</hi> wird, wenn <hi rendition="#i">O</hi> in-<lb/> nerhalb der Kugel, hingegen <formula/>, wenn <hi rendition="#i">O</hi> auſser-<lb/> halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-<lb/> sammen. Der Differentialquotient <formula/> wird daher innerhalb<lb/> der Kugel = 0, auſserhalb <formula/>; auf der Ku-<lb/> gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je<lb/> nach dem Zeichen von d<hi rendition="#i">x</hi>: gleich sind diese beiden Werthe<lb/> nur dann, wenn <hi rendition="#i">x</hi> = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-<lb/> henden Artikels entspricht.</p><lb/> <p>Der Ausdruck für <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, innerhalb und auſserhalb der Ku-<lb/> gel mit <formula/> gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-<lb/> res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,<lb/> den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe<lb/> liegenden Elemente der Fläche <hi rendition="#i">a</hi> — <hi rendition="#i">x</hi> ein unendlich kleines<lb/> von einer höhern Ordnung wird als <hi rendition="#i">r</hi>, nemlich wenn <hi rendition="#i">y</hi> = 0,<lb/><hi rendition="#i">z</hi> = 0, <hi rendition="#i">x</hi> = ± <hi rendition="#i">R</hi>, für welchen Fall die Integration <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi> =<lb/> = 2<hi rendition="#i">πk</hi> gibt, also mit keinem der Werthe von <formula/> überein-<lb/> stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-<lb/> bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.</p><lb/> <p>Erwägt man nun, daſs wenn <hi rendition="#i">O</hi> ein auf der Oberfläche<lb/></p> </div> </body> </text> </TEI> [20/0025]
fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant.
Es sind also V, X die Werthe der Integrale
[FORMEL] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In-
tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B,
und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-
streckt werden, so wird V = V0 — V', X = X0 — X'.
Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen,
den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der
Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des
Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen.
Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in-
nerhalb der Kugel, hingegen [FORMEL], wenn O auſser-
halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-
sammen. Der Differentialquotient [FORMEL] wird daher innerhalb
der Kugel = 0, auſserhalb [FORMEL]; auf der Ku-
gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je
nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe
nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-
henden Artikels entspricht.
Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku-
gel mit [FORMEL] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-
res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,
den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe
liegenden Elemente der Fläche a — x ein unendlich kleines
von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0,
z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 =
= 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von [FORMEL] überein-
stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-
bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.
Erwägt man nun, daſs wenn O ein auf der Oberfläche
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Zitationshilfe: | Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/25>, abgerufen am 29.07.2024. |